Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(2)
W(x).
180
Пользуясь соотношениями (1), (2), получаем равенство
- _ дхі _ V^ dxi das — Vі o*w /лч
°ik dxk j^J das dXk ~ j?j datda6 dXsdXh ' ^ '
которое показывает, что матрицы вторых производных функции W(x) и ее преобразования Лежандра Г (а) взаимно обратны с точностью до знака. Свойство знакоопределенности сохраняется при переходе к обратной матрице, следовательно, для теории в конечном объеме преобразование Лежандра Г(а), равно как и Ф(а; х) = Г + ха являются строго выпуклыми вверх функциями переменных а.
Можно рассматривать преобразования Лежандра не по всем, а по части аргументов х (,,неполные преобразования"). Допустим, что все Xi разбиты на две группы: х\ х", и переход к сопряженным переменным а! сделан только для аргументов х'\ Г(а', x") = W(x)—ХіХ/а/. Ясно, что соотношения (2), (3) остаются верными для аргументов первой группы. Далее, считая а! и х" независимыми переменными, а х' — функциями от них, получаем
дТ<а',х") dW(x) . dW(x) дхк Vl дх'к г dW(x)
Vl dW(x) дхк
2j dxk дх'і 2u
k h
дх] дх- ^ dxk дх\ Zj дх] дх]
(4)
Производные в двух частях этого равенства имеют разный смысл: слева стоит производная Г при фиксированных а', a справа — производная W при фиксированных х\
Для полноты приведем также соотношения, связывающие матрицы вторых производных Г и W по своим (z\ х" для Г и х\ х" для W) аргументам: TnWn=— 1, Г22 = W22-Г2і W12, T12= —rnV712. Мы обозначили сокращенно T11, Г12, Г22 и аналогично для W матрицы вторых производных по аргументам первой и второй групп соответственно (I=Qt', 2 —лс" для Г и 2 = л:" для W).
В заключение сформулируем и докажем одно простое свойство выпуклых функций, которое будет часто использоваться в дальнейшем. Пусть f(a)—выпуклая функция, имеющая конечные кусочно-непрерывные вторые производные. Множество точек стационарности такой функции выпукло, т. е. вместе с любыми двумя точками а(1) и а(2) содержит целиком и соединяющий их отрезок прямой с}а^ + с2а{2\ Ci>0, C2^O, С[ + с2=\.
Обозначим через f\ производную по направлению этого отрезка, f2—производную по одному (любому) из ортогональных 1 направлений. По предположению на концах отрезка
U = U- о.
Приращение A/i при переходе от одной из крайних точек отрезка к любой его внутренней точке равно интегралу от /п
181
по соответствующему промежутку. Учитывая знакоопределенность /ц (выпуклость) и то, что для всего отрезка A/i = 0 (стационарность крайних точек), заключаем, что f\=fn=0 на протяжении всего отрезка. Отсюда при учете неравенства 1 /1212 "Cfnf22, вытекающего из знакоопределенности матрицы вторых производных / (выпуклость), и предполагаемой конечности вторых производных І22 следует, что и смешанная производная fi2 равна нулю на протяжении всего отрезка, и потому /2 = 0 на отрезке, поскольку приращение этой производной выражается интегралом от f{2. Сказанное верно для любого ортогонального 1 направления 2, следовательно, на протяжении всего отрезка все первые производные / равны нулю, что и требовалось доказать. Из процесса доказательства видно, что вырождение (неединственность) точки стационарности возможно лишь тогда, когда выпуклость является нестрогой. Ясно также, что при наличии отрезка стационарности функция / является постоянной на отрезке.
Итак, множество всех точек стационарности выпуклой функции образует некоторую выпуклую ,,область стационарности" б и /—постоянная на этой области. Из непрерывности первых производных / следует, что область G является также и замкнутой, т. е. содержит все свои предельные точки. Для строго выпуклой функции в может состоять только из одной точки.
Уточним смысл переменных X и а для нескольких конкретных систем. Начнем с модели Изинга в однородном внешнем поле h, для которой, согласно (V.46), —?H = —?H06M+ ?^s, где Н0б^: — гамильтониан обменного взаимодействия моментов, s = Ss1-— полный момент, т. е. сумма моментов всех узлов решетки. Если взять Xi = —? YL X2 = ?/t (приведенное внешнее поле), то сопряженными переменными а будут соответственно среднее значение обменной энергии и среднее значение момента (намагниченность) в расчете на один узел. Нежелание использовать традиционные переменные температура — внешнее поле объясняется, конечно, тем, что в таких переменных простое и универсальное свойство выпуклости W приняло бы неоправданно сложную форму.
Функция W(x) является четной по х2, т. е. инвариантной относительно перемены знака поля, а ее преобразование Ле-жандра является четным по намагниченности а2. При нулевом внешнем поле варьируемая функция Ф(а; х) = Г (а) + а\хх четна по аг, спонтанное нарушение симметрии выражается в появлении точки стационарности с ненулевым значением намагниченности аг, вырожденной по знаку а2 вследствие четности Ф.
Классический и квантовый ферромагнетики Гайзенберга отличаются от ферромагнетика Изинга лишь тем, что приведенное внешнее поле и сопряженная переменная — намагниченность— становятся трехмерными векторами, а инвариантность относительно перемены знака этих величин переходит в инва-
