Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Свойство поперечности S-матрицы на поверхности масс позволяет заменить в аналогичном (1.139) выражении простую свертку па$ для векторного поля Ва на [РпР]а$, где P — проектор на физическую поверхность масс. Это равносильно исключению нефизических промежуточных состояний (с продольными и временными фотонами) из условия унитарности.
Следует сказать, что для поля Янга — Миллса все рассуждения об S-матрице относятся лишь к формально определенному соотношением (20) функционалу. В отличие от электродинамики физически корректного определения асимптотических состояний и S-матрицы здесь нет (инфракрасные расходимости).
ГЛАВА IV.
ЕВКЛИДОВА ТЕОРИЯ ПОЛЯ
§ 1. ЕВКЛИДОВ РАЗВОРОТ
1. Определения. Евклидову теорию можно формально определить как то, что получается из обычной (псевдоевклидовой) теории при замене —it. Эта замена переводит операцию К в уравнении (1.2) в евклидову операцию K0, а квантовое уравнение Шредингера переходит в уравнение типа теплопроводности і dty/dt = Игр —d\p/dt = HiJ) (предполагается, что H не зависит явно от времени).
Евклидов оператор развития ехрН(т2—ті) в шредингеров-ском представлении совпадает с матрицей плотности р = ехр(—?H), причем время развития определяет температуру Т: ? = IJkT = Xi—Т2, где k — постоянная Больцмана. Поэтому евклидова теория представляет с точки зрения физики самостоятельный интерес как теория р-матрицы.
Зависимость от времени операторов в представлении взаи-
модействия, в частности операторов свободного поля, определяется в евклидовой теории соотношением a(t) = ехр (/H0) X Хаехр(—^H0); заменив H0 на Н, получим евклидово или температурное гайзенберговское представление. Отметим, что преобразование a-^a(t) неунитарно и меняет свойства эрмитово-сти: если оператор а эрмитов, то a(t) обладает свойством не обычной, а комбинированной эрмитовости: a(t)=a+(—t).
Евклидов оператор развития в представлении взаимодействия
удовлетворяет уравнению —dUe(Ti, x2)/chi = V(Ti)U0(Ti, T2), в котором V(t)—гамильтониан взаимодействия в евклидовом представлении взаимодействия. Решение этого уравнения с условием ие(т, т) = 1 представляется аналогичной (1.57) дай-соновой Г-экспонентой:
Ue Ы, ^2) = ехр (T1H0) ехр H (т2 — T1) ехр (— T2H0)
(D
(2)
133
Евклидовы функции Грина определяются обычным соотношением (1.58), но операторы поля под знаком Г-произведения берутся теперь в евклидовом гайзенберговском представлении.
Различные формулы приведения для операторных функционалов от свободного поля (теоремы Вика) и правила перехода от дайсоновых Г-произведений к виковским в операторе развития и функциях Грина справедливы и для евклидовой теории. Разница лишь в самом операторе свободного поля, который получается из обычного (псевдоевклидового) стандартной заменой t-*—it, что приводит к изменению простой (п) и хронологической (А) сверток:
пе(х, x')EEEtie(t, х; t\ х') = #(-— it, х; —it\ х'), (3) Де(Je, x') = b{t — t')ne{x, x') + *b(t' — t)ne(x', х).
В спектральных представлениях типа (IL6), (11.27) переход Д->Де соответствует одновременной замене / -*—it, E-^iE, dE -> IdE.
Соотношения (1.31), устанавливающие связь между свертками и ядром свободного действия К, принимают в евклидовом
варианте следующий вид: Кеп>е = Ketil = 0, /СеДе = —1.
2. Формальный евклидов разворот функционала действия.
В этом разделе мы рассмотрим процедуру евклидового разворота, с помощью которой данной псевдоевклидовой теории ставится в соответствие некоторая евклидова теория — евклидов образ исходной теории. Все построения будут совершенно 'формальными, в конкретных случаях законность тех или инбїх операций должна обосновываться особо.
Разворачивать произвольную функцию F(x{... Xn) мы будем следующим техническим приемом Швингера: для вещественного
числа z определим функцию F^(Xx... xn)=F(xz... xzn), где xz = (zt, х). Допустим, не стремясь обосновывать подобные предположения, что Яг> как функция z допускает аналитическое продолжение на комплексные z, и назовем развернутой функцией продолжение в точку z = —і, для которого примем специальное обозначение Я-*')=/7.
Интегралы будем разворачивать по следующему правилу:
J* ... J* dX\ ... dxn F (х^ ... Xf^ = |* ... J dx\ ... dXn F (xf... xzn) = ^П jj * * * ^"dx^ ... dxnF ^ (•^i ... -Xfi)
= J * ' * J ' ' ' dXn^(Xl • • • Xn)' (4)
Для функции одной переменной это правило справедливо тогда, когда контур интегрирования по t можно развернуть так, чтобы
134
юн шел по мнимой оси сверху вниз, отбросив при этом интегралы по дугам.
В импульсном представлении р -> pz == {z~xpQ, р) и ^dp0 ...
...->j ^dpo ... , т. е. после разворота контур интегрирования ¦
по р0 идет по мнимой оси снизу вверх. Форма преобразования Фурье не меняется: px=pzxz =pQt — рх. Взяв функционал действия общего вида
п
= \] 7П" f • • • f dXi • • • dxnAn(xi ¦¦• Xn) ср (X1) ... ср (.Vn)
п
т развернув все интегралы по правилу (4), получим
iS(?) = ^i-LAIKr = SeG), (5)
п
тде 'f — развернутое поле <р, Лле = (—*)Л~М„. Езклидову теорию с действием SQ будем называть евклидовым образом .псевдоевклидовой теории с действием S.
