Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
А А
рецептов, когда в качестве V берется Sym у (q, р). Если квантовать иначе, положив, например, V = Re Nv(q, р), где Re обозначает эрмитову часть оператора, то в (60) вместо SKJl войдет другой функционал, который можно явно найти по Sym-. форме V.
В заключение остановимся на вопросе о канонической инвариантности представлений типа (60). Каноническая инвариантность означает, что (60) останется верным, если пару q, р заменить любой другой парой канонических переменных q\ /?',
взяв при этом S'Ka(q', pf) J dt \pf q* — Ж' (q\ //)], где
Ж!(q\ p')=3Hg(q, р). Частный случай преобразования q'= р, р' — — q соответствует переходу от координатного к импульсному представлению в (60). При этом 5КЛ (q\ р') = qp — 3?(q, p)]=SKJl(q, р) — РхЯх +РгЧ* где qh pt-
\dt[
краевые значения q и р соответственно.
Не считая каноническую инвариантность самоочевидной, отметим, что импульсный аналог представления (60) (и (-56)) действительно можно получить тем же методом, как и представление (18): рассматривается задача с линейным источником, с помощью связи выделяется б-функция, оставшийся гауссов интеграл со связью берется с помощью подходящего сдвига. Отсюда, видимо, следует, что представление (60) действительно инвариантно относительно линейных канонических преобразований декартовых переменных р, q, но в иных случаях (например, при переходе от р, q к переменным действие — угол для осциллятора) формулы типа (60) нужно всякий раз доказывать заново (если это вообще возможно).
ГЛАВА III.
I БЕЗМАССОВОЕ ПОЛЕ
j янга —миллса
В этой главе мы кратко обсудим специфические особенности теории безмассовых векторных (калибровочных) полей.
1. Классическая теория. Пусть Г — группа унитарных матриц Q, действующих в некотором конечномерном пространстве, T1 ... Tn — набор соответствующих эрмитовых генераторов, нормированных условием tr [ТаТь] =оаЬ. Ассоциированное с данной группой поле Янга—Миллса [25] представляет собой
набор N вещественных векторных полей Bl (х) (всюду в этой главе используются стандартные релятивистские обозначения § II.3), который удобно описывать единой матричной функцией
Ва (х) = уТаВ1 (л). На множестве матриц Ва (х) задается
группа калибровочных преобразований 1\, элементы которой параметризуются функцией 2 (х) со значениями в Г:
Ва (х) -> Bl (х) = ? (х) В* (X) 2-1 (х) + is"1 д*Я (х) • Q-1 (х). (1)
Вещественный параметр є играет в теории роль константы
Для инфинитезимального преобразования вида Q(x)=l —
— ки(х) из (1) получим В1(х) = Ва(х) + 2)а(х)и(х), где 2Т — линейная операция на пространстве матричных функций (кова-риантная производная):
Классическим действием для поля Янга—Миллса считается функционал
§ 1. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА
а
СВЯЗИ.
@а^да+ h[B\ ... ].
(2)
S(B)
4
dx tr [Far? (X)Fa*(X)],
(3)
119
в котором Fa?=daB^—d^Ba-\-h[Ba, В?'\ — тензор поля. Из(1)
нетрудно получить закон преобразования для F: Fq = QF*' Q~\ Отсюда ясно, что действие (3) калиброзочно-инвариантно. В порядке справки отметим, что калиброзочно-инвариантное взаимодействие поля Ян га — Миллса с мультиплетом других
полей ср вводится посредством замены производных да -> va =
= да-{-ігВа в лагранжиане поля ср (тогда -> Qycp при одновременном преобразовании <р-» 2<р, ВВ9\
Классическое уравнение дзижения для действия (3) имеет вид SDaF^= 0; нетрудно также убедиться, что из калибровочной инвариантности действия вытекает равенство 2Daz0:J*^ = О для любого В.
Если исходная группа Г абелеза, то все коммутаторы об-ращаются в нуль, калибровочное преобразование (1) превращается в градиентное преобразование Ва -> ?a ~f- ааи, а действие (3) превращается в обычную квадратичную форму (11.37; для системы безмассовых векторных полей.
2. Общий рецепт квантования. Каноническое квантование теории (3) нетривиально, потому что соответствующий лагранжиан относится к числу вырожденных (или сингулярных), т. е. таких, у которых нет взаимно-однозначной связи между скоростями и импульсами. Действительно, из определения S(B) ясно, что эта величина вообще не содержит одной из скоростей, а
именно B0 = д0В°, и соответствующий импульс равен нулю тождественно.
Квантование систем с вырожденными лагранжианами есть особая, в настоящий момент решенная (см., например, {26]) задача, и соответствующие построения применительно к ПОЛЮ Янга—Миллса подробно изложены в книге [4]. Поэтому мы не будем на них останавливаться и ограничимся, следуя работам [27, 28], простыми эвристическими соображениями, приводящими к правильным формулам.
В обычной теории с невырожденным лагранжианом функции Грина поля представляются функциональными интеграла-ми от произведения полей с весом expiS(ф) (см. п. 1.6.5). На том уровне строгости, на котором мы собираемся работать, нет смысла уточнять область интегрирования в функциональных интегралах и отличать свободное действие от его квадратичной формы (1.4). Свободным действием для (3) считается квадратичное по полю В слагаемое, которое имеет вид S0(B) = ВКВ/2» где К является матрицей по двойному индексу а, а (а — "изотопический" значок, а — векторный). Эта матрица имеет вид баь /Coc?, где Ка$ есть операция (11.38) при т = 0. Как уже отмечалось, эта операция существенно вырожденная — в импульсном представлении форма Ка$ = —Р2ёи& + РаР$ поперечна, т. е. четырехмерно ортогональна вектору р: Ка$р$ = раКа$ = 0.
