Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим в качестве примера разворот соотношений (1.31).
Согласно определению евклидова операция /Се есть К, а из (3)
видно, что евклидова свертка Де совпадает с А, поскольку 6 — функция при развороте — не меняется: В (zt) = u(t). Ядро единичной операции в правой части соотношения KA = і содержит b(t — которая получает при развороте множитель і: S (zt) = z~x о (t). Поэтому соотношение /(А —і переходит при развороте в /СДї = — 1.
3. Евклидов разворот функций Грина. Из сказанного в п. 1 следует, что в евклидовой теории производящие функционалы 5-матрицы и функций Грина определяются обычными соотношениями (1.84), (1.88) с заменой Д->Де и iSv-+Sve, где Sve — евклидов функционал взаимодействия, представляющий Sym-форму квантового оператора —fdt\(t), являющегося показателем экспоненты в (2).
Если оператор V (7) не зависит явно от времени и не содержит производных поля по времени, то представляющий его Sym-форму операторный функционал будет точно таким же, как и в псевдоевклидовой теории, а изменится лишь его аргу-
Л А
мент — оператор свободного поля: ф->фе. В этом случае евклидов функционал взаимодействия будет совпадать с цсевдоевкли-„довым: S-ue(ф) = Sv(y). Отметим, что это согласуется с общим
правилом разворота (5), согласно которому iSv(q>) = Sve(q>). В нашем случае замена t-*—it проявляется лишь в двух местах:
во-первых, ф -> ф, во-вторых, if dt... -> J dt..., откуда видно, что
135
развернутый по правилам предыдущего раздела функционал
iSv (ф) перейдет в S^ (ф), что и утверждалось. Те же аргументы доказывают, что содержащая одно интегрирование по времени квадратичная форма IvS0'(ф) = щКср/2 переходит при развороте
в евклидову форму 57Oe (ф) =ф/(еф/2.
Рассмотрим произвольную диаграмму полной функции Грина Gn(x\... Xn) псевдоевклидовой теории с действием 5(ф). Выполнив евклидов разворот аргументов Х\... Xn одновременно с аргументами интегрирования и собрав возникающие при этом множители ±i, нетрудно убедиться, что мы придем к соответствующей диаграмме евклидовой функции Грина Gne, иначе говоря, функции Грина псевдоевклидовой теории переходят при развороте в функции Грина ее евклидового образа:
С*1 • • • хп) ==^ие (•^l • • • Хп)' ' (o)
Это рассуждение можно провести компактно на языке функциональных интегралов: сделав в представлении (1.165) замену
X;->xf, перейдя затем в точку Z = —і и воспользовавшись равенством (5), придем к интегралу const JDqq(x\).. .q(xn) X
Хехр5е(ф), в котором можно сделать замену ф-> ф переменной интегрирования. Якобиан замены есть несущественная постоянная: при вещественном z якобиан ?)ф/?)ф(2) является определителем линейной операции с ядром o<p(x)/oq>W(x') =o(x— x{'z))v которое не зависит функционально от ф. Таким образом, мы приходим к равенству
Gn(X1 ... хп) = constJ D? 9(X,) ... v(xn) exp Se (?) (7)
с нормировкой G0 = 1 Для свободной теории. Это равенство доказывает (6), так как правая часть (7) представляет (во всяком случае в теории возмущений) функцию Гр ина Gne евклидовой теории с действием Se (подробнее см. § 2). Отбирая связные части Gn в (6), получаем
жі (*i ... Xn) = Wпе (X1 ... хп). (8)
При п = 0 величина W0 есть константа (сумма связных вакуумных петель), не содержащая аргументов х, так что Wo=W0 и из (8) следует Wq = Woe- В трансляционыо-инвариантных по времени теориях последнее равенство заведомо некорректно. Действительно, в псевдоевклидовой теории величина Wo> совпадающая с логарифмом вакуумного ожидания S-матрицы, определяет согласно (1.74) сдвиг энергии основного состояния при включении взаимодействия: W0 = —і AEfdt. Евклидов сдвиг АЕе определяется аналогично: Woe =—AEeJdt. Ниже будет показано, что величина A?e, как и AE, вещественна. Следовательно, W0 — чисто мнимая величина, a W0e — чисто вещественная, и равенство между ними невозможно.
136
Дело в том. что при получении (6), (8) делался разворот всех времен интегрирования в диаграммах, в частности, был развернут и интеграл fdt, выделяющийся в виде множителя из каждой связной вакуумной петли. Разворачивая этот множитель по правилу (4), мы в сущности постулировали равенство J dt = zj dt = —if dt, являющееся, конечно, некорректным. Ясно, что именно эта подстановка превращает чисто мнимую величину W0 в чисто вещественную величину W0e.
В действительности следовало бы разворачивать коэффициент при fdt, т. е. Д?, и сравнивать результат с соответствующим коэффицентом при fdt в евклидовых диаграммах. В итоге мы пришли бы к равенству Д? = Л?е, являющемуся корректным заменителем равенства Wo = Woe-
Случай п = О в (8) особый — при п > О равенства (8) не содержат подобных некорректностей.
Мы рассматривали процедуру евклидового разворота формально, но при определенных предположениях ее можно обосновать совершенно строго (см., например, [32]).
4. Свойства полей ср и действия 5е(ф). Свойства вещественности развернутых полей ф в интеграле (7) отличаются от свойств исходных полей ф. Например, если ф вещественно, то
Ф, будучи аналитическим продолжением ф на мнимую ось t,
обладает свойством комбинированной вещественности ф(Х) =
