Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
[ВТ, ...\и= [В\ а] =-%В"сиь[Тс, Tb] = V?"?„JfJa гв
ab с
ifcba — структурные постоянные группы) получаем [Ва, ... }аЬ — = ^ Вcf сьа- След этой матрицы по изотопическим значкам
с
разен нулю вследствие антисимметричности структурных постоянных f abc-
Отметим, что в калибровке пВ = 0 с некоторым числовым вектором її (например, в аксиальной калибровке) функционал (11) на поверхности, пВ — 0 обращается в единицу, поскольку па [Вг, ... ] = [плВа, ... ]=0. В таких теориях дополнительные диаграммы &Sf отсутствуют.
Преобразовав функционал (8) по правилу (4) и приняв во внимание определение (7), получим
Gf(A) = G1^mB) ехр / [Svf(B) + AB] \в^ (13)
где Svf(B) обозначает функционал взаимодействия вместе с поляризационной добавкой %Sf(B). Воспользовавшись затем
явным выражением (10) для G/0) в калибровке пВ-\-с = 0х и выполнив сдвиг ехр(1о/ЪВ), имеем
Gf(A) = ехр [4- -ST А« ж] ЄХР 1 [S*f (B + l) + MB + l)]\м.
(14)
125
С точностью до множителя ехр iAl это выражение совпадает с обычной формулой (1.88) для производящего функционала функций Грина теории с взаимодействием SVf(B + /), что приводит к стандартным диаграммным представлениям § 1.4 для функционала (14). Обратим внимание, что изменение параметра с в калибровочном условии меняет функционал взаимодействия, но не меняет линии диаграмм.
4. Обобщенная фейнмановская калибровка. Усреднив функционал (8) для калибровки /г5 + с = 0 по параметру с с весом expicdc, где d—произвольное ядро, мы придем к функционалу (интеграл по с снимается 6-функцией)
Gnd (А) = const J DB соf (В) ехр / [S (В) + ВпЧп В'+ AB], (15)
представляющему функции Грина в обобщенной фейнмановской калибровке. Возникающую в показателе квадратичную добавку можно отнести к свободному действию, что равносильно изменению К'=К + 2 nTdn его ядра. В отличие от К ядро Кг оказывается невырожденным, что позволяет использовать для вычисления интеграла (15) обычную теорию возмущений с про-пагатором А'= iK'~l. В частном случае па = да, d =—1 /2р (р — число) пропагатор А' з импульсном представлении оказывается равным
аЪ № + /О
/і \ /t^ о
(I - fj)--ct*s
V г/ ?2 ь
(16)
При [) = 1 он совпадает с обычным выражением для пропагато-ра электромагнитного поля в фейнмановской калибровке, почему эти калибровки и называют обобщенными фейнмановскими.
Функционал (15) не совпадает, конечно, ни с одним из функционалов (8), но если S-матрица на поверхности масс для функционала (8) не зависит от с (как оно и есть на самом деле), то она будет точно такой же п для функционала (15) при любом выборе d.
5. Производящий функционал S-матрицы. Сравнивая формулу (13) с обычными представлениями (1.84), (1.88) для S-матрицы и функций Грина и учитывая, что входящая в эти представления дифференциальная операция приведения есть не что иное, как G<°) (б/6ир), естественно определить соответствующий функциям Грина (8) производящий функционал S-матрицы (вне поверхности масс)' формулой [29]
- Rf(A) = G{f0)(t/o IA) expiSvf(A). , (17)
Повторяя дословно вывод соотношения (1.93), нетрудно убедиться, что оно остается справедливым и в рассматриваемом случае:
Of(Ay=GP (A) Rf (i\nA). (18)
126
Однако обратное соотношение (1.94) ,теряет теперь смысл, так как пропагатор (9) является вырожденным и обратная матрица An-1 не существует. Для функционала (15) с невырожденным пропагатором (16) подобных проблем не существует и все обычные соотношения гл. I сохраняют силу.
.Вырожденность пропагатора в калибровке пВ + с = б приводит к специфическому эффекту — неоднозначности связи между S-матрицей вне поверхности масс и функциями Грина. Из (18) видно, что функционал Rf определяет Gf однозначно, но обратное неверно: разным функционалам Rf может соответствовать один и тот же функционал Gf. Действительно, из (18) видно, что диаграммы Gf получаются из диаграмм Rf домножением на i&n по каждому аргументу А ("по каждой внешней линии"), и если мы добавим к Rf слагаемое, по векторному значку пропорциональное п, хотя бы для одной внешней линии, то эта добавка не даст вклада в Gf в силу равенства п\п = 0.
Представив дифференциальную операцию в (17) функциональным интегралом (7) и выполнив сдвиг ехр (Bo/дА), получим
Rf(A) = const j DB о [f (В)] exp і — BKB -f Svf(B + A)j. (19)
Сделав теперь замену В -> В — А переменной интегрирования, находим
Rf(A) = exp A1-AKA const j DB Ь [f(B — A)\ X
X exp/[5/(A)-AZfB]. (20)
Это равенство напоминает аналог соотношения (1.94), но оно получено законными (на нашем уровне строгости) преобразованиями без употребления бессмысленного символа Дп~1.
Необходимо отметить, что при определении функционала S-матрицы существует проблема выбора множителя со/, порождающего дополнительные диаграммы. Имеется в виду следующее: в интеграл (8) множитель со/ входил в комбинации с o[f(B)], и на этом основании мы могли заменить со/ любым другим функционалом, совпадающим с со/ на поверхности /(В) = 0 (чем один раз и воспользовались). Но в (20) это уже не так, поскольку множитель Mf(B) входит теперь в комбинации с o[f(B—А)], причем А произвольно. Поэтому разному выбору функционала со/ в (8) будут соответствовать разные 5-матри-цы (20), что является частным проявлением неоднозначности связи между 5-матрицей и функциями Грина, о которой уже говорилось выше. Обсуждая свойства функционала S-матрицы, нужно четко зафиксировать вид множителя со/. Мы будем брать" в качестве со/ определитель (11), и в этом случае дополнительные диаграммы S-матрицы имеют такой же вид, как и в функциях Грина.
