Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Наиболее привлекательной чертой интегралов по неразвернутым полям является наличие четкой корреляции между сходимостью интеграла для бозонной теории и устойчивостью (или ограниченностью снизу гамильтониана) соответствующей физической системы. Это очевидно для осцилляторных свободных теорий: сходимость интеграла и ограниченность снизу квантово-механического гамильтониана обеспечивается одновременно положительностью квадрата частоты; в нерелятивистской бозонной теории, в которой сходимость определяется вещественной частью действия, аналогичную роль играет требование положительности одночастичного гамильтониана <g. Для ангармонического осциллятора с потенциалом взаимодействия <г = Яфп сходимость интеграла требует четности п и положительности Я. Это именно те условия, которые обеспечивают ограниченность снизу квантовомеханического гамильтониана.
Представляется правдоподобным, что эти наблюдения носят общий характер и что в бозонных евклидовых теориях сходимость интеграла (16) по неразвернутым полям является критерием устойчивости соответствующей физической системы. Стабильность фермионных систем при любых знаках одночастич-ных энергий хорошо согласуется с фактом сходимости гауссовых интегралов на грассмановой алгебре независимо от свойств знакоопределенности квадратичной формы в показателе интегрируемой экспоненты.
0
§ 3. СВОЙСТВА ВЫПУКЛОСТИ
1. Квазивероятностные теории. В предыдущем параграфе мы назвали квазивероятностными такие бозонные евклидовы теории, в которых функционал действия 5е(ф) для неразвернутых полей является вещественным, а множитель ехр Se(ф) — фежущим, что позволяет говорить о „сходимости" интеграла (16).
Такие теории можно истолковать на языке классической физики, понимая их как теории классического случайного поля— последнее принимает разные значения („конфигурации") с разной степенью вероятности, величина Офехр5е(ф) определяет положительную ненормированную меру на множестве конфигураций, множитель ехр5е(ф) пропорционален плотности вероятности для конфигурации ф. Интегралы const JDqF(ці) X Xехр 5е(ф) = <^>, нормированные условием <1>= 1, можно
146
тогда понимать как обычные средние значения, а евклидовы функции Грина без вакуумных петель приобретают смысл корреляционных функций классического случайного поля <р(х). К сожалению, строгая математическая теория случайного поля — обобщенный случайный процесс в терминологии [33] — существует лишь для очень ограниченного класса „хороших мер", а выражения типа D(pexp5e((p) не относятся, как правило, к их числу. Тем не менее мы будем считать, не претендуя на строгость, что символ ?)фехр5е(ф) обладает простейшими свойствами положительной меры, а именно: интеграл /Офехр5е(ф) положителен, среднее значение любого неотрицательного функционала неотрицательно. Из положительности среднего значения квадрата вытекает положительность дисперсии <<\F\2> — |<F>|2 для любого функционала ?(ф).
Из условия положительности меры вытекают различные следствия, касающиеся свойств выпуклости (т. е. знакоопределенности второй вариации) производящих функционалов функций Грина. Действительно, предполагая линейную форму фЛ в (16) вещественной (для комплексного поля фЛ понимается как ф+Л+Л+ф) и составив вторую вариацию по Л функционала (16), увидим, что она пропорциональна среднему значению квадрата 6(фЛ) и потому неотрицательна; вторая вариация функционала We(A) = In Ge(A) сводится к дисперсии б(фЛ) и*" поэтому также неотрицательна. Это доказывает, что Ge(A) и We(A) являются выпуклыми вниз функционалами Л;
Можно сформулировать более общее утверждение. Пусть
—вещественный функционал с такими потенциалами, A = — {A0A1...}, что символ Dy ехр 5е (ср) можно считать поло-
жительной мерой. Тогда интеграл (/е (Л) = constj Dcp ехр Se (ср),
равно как и его логарифм We(A), имеет неотрицательную вторую вариацию по отношению к любым не нарушающим вещественности действия (17) вариациям потенциалов Л. Можно сказать, что Ое и WQ — выпуклые вниз функционалы любых переменных, входящих линейно в функционал действия.
Полезно отметить, что в теориях с лагранжианами, квадратично зависящими от скоростей (первых производных по времени), показатель весового множителя ехр5е(ф) имеет простой физический смысл: при переходе от псевдоевклидовой теории к евклидовой изменяется лишь знак при квадратах скоростей,
62Ge>0, O2WV>0.
п
UxnAn(X1... Xn) <? (хЛ) ... у (хп) (17)
П
10* 147
так что евклидов лагранжиан оказывается равным классическому псевдоевклидовому гамильтониану со знаком минус. В таких теориях Se(q>) =—JdtM(t), где Ж—классический гамильтониан.
2. Выпуклость и спектральные представления. Результаты предыдущего раздела справедливы лишь для чисто бозонных квазивероятностных теорий и не обобщаются на теории с фер-мионами или на нерелятивистскую бозонную теорию § II.2 с невещественным действием. Существуют, однако, утверждения о выпуклости, справедливые для всех теорий.
Пусть 57(ф) —функционал действия некоторой трансляцион-но-инвариантной по времени псевдоевклидовой теории и S"(q>) = fdtZ(t)9rne
