Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Васильев А.Н. -> "Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике" -> 59

Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.

Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике — Ленинград, 1976. — 295 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcionalmetodi1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 121 >> Следующая

Что касается свойств вещественности функций из E(AQ) и Е(Ае), то коротко можно сказать так: для всех систем, исключая опять-таки свободную теорию п. 11.1.2, при подходящем (см. ниже) определении пространств E и E переменные интегрирования в (16) обладают „правильными" свойствами вещественности^ т. е. такими же, как у исходных (E(Ae)) или развернутых (E(Ae)) полей. В особом случае свободной частицы п. П. 1.2 функции из E(Ae) вещественны, но для E(Ae) правильная (в данном случае комбинированная) вещественность гарантирована лишь для тех функций, которые имеют нулевые асимптотики при ?->±оо. Уместно напомнить, что в псевдоевклидовой теории правильные свойства вещественности нарушались не для свободной частицы, а для осциллятора: функции из пространства E(A) =iAE (E вещественно) с отличными от нуля асимпотиками ф(±) были невещественными. Этот факт можно отметить как любопытное проявление сопротивления самого аппарата постановке неподходящей задачи: 5-матричная постановка псевдоевклидовой теории естественна для свободной частицы, но неестественна для осциллятора, имеющего дискретный спектр, тогда как евклидова теория, рассматривающая в сущности р-матрицу и статсумму (подробнее см, гл. V), естественна для осциллятора и неестественна для свободной частицы. На постановку неестественной для данной системы задачи аппарат реагирует искажением правильных свойств вещественности полей, по которым производится функциональное интегрирование.
Поясним смысл сделанной выше оговорки о „подходящем выборе" пространств E и E на примере нерелятивистской теории § П.2. В этой теории исходные поля г|) = фЬ гр* == ф2 комплексно-сопряжены, а для развернутых полей фЬ2 ,,правильная вещественность" означает комбинированную сопряженность Нетрудно проверить, что вектор ф = AeA, где Л=(ЛЬ A2), Де — евклидов вариант матрицы сверток (11.26), будет обладать свойством ф2+ = ф[ тогда и только тогда, когда A2 = х/4гь, что и является в данном случае определением „подходящего пространства" Ё, В действительности это совершенно естественное определение, если писать линейную форму фЛ = фИі ¦f Ф2Л2
і 44
в (16) в обычном для комплексного поля виде \j)+a + a+i|) =
Для релятивистской векторной теории удобнее иметь дело
не с полем Ва(х), а с полем (х)=еВ(х) (см. обсуждение векторного поля в п. 1.6). Вместо функционала Se(B) следует
тогда писать Se($), а форма BA = Baga$A$ переходит в евклидово скалярное произведение—ЗіїбФ. Соответствующая полю
J? евклидова свертка A6 = еДее, где Ае — евклидов вариант (11.39), вещественна и отрицательно определена на вещественных полях.
В заключение сравним два варианта представления (16), исключив из рассмотрения особый случай квантовомеханичёской свободной частицы. Достоинство интеграла по развернутым полям — простота свойств функционала действия, который, как было показано ранее, всегда будет вещественным и (^-инвариантным, если исходное псевдоевклидово действие было ло-ренц-инвариантным. Недостатком таких интегралов является то, что они всегда „расходятся", и это верно даже для свободной теории ввиду отсутствия знакоопределенности евклидовой квадратичной формы свободного действия для развернутых полей (см. п. 1.4). Расходимость интегралов не позволяет воспринимать множитель Dq) exp S6 (ф) как некоторую положительную меру на пространстве полей несмотря на его формальную положительность, вытекающую из вещественности действия. Важнейшим свойством меры является положительность среднего значения положительной величины, а для определенного формально посредством сдвига гауссова интеграла с невырожденной, но не знакоопределенной квадратичной формой это свойство, как нетрудно убедиться, не выполняется.
Обратимся теперь к интегралам по исходным полям, причем для векторной теории в соответствии с договоренностью вещественной переменной интегрирования будем считать поле Ш(х). Функционал 5е(ф) с неразвернутым полем ф не обязан быть вещественным, но во многих случаях он таковым, тем не менее, оказывается. Например, евклидов функционал взаимодействия, как правило, совпадает с псевдоевклидовым функционалом (см. п. 1.3), что гарантирует его вещественность. Квадратичные формы свободного действия для квантовомеханических теорий / § II. 1, а также для релятивистских скалярного и векторного 1 (Si) полей оказываются не только вещественными, но и знако-определенными* (отрицательно), и в этих случаях экспонента в гауссовом интеграле (15) оказывается режущей. Добавка взаимодействия Sve((p) к показателю экспоненты может испортить „сходимость" интеграла. Если этого не происходит и мно-
* Для свободной теории п. II. 1.2 знакоопределенность нестрогая.
10 Зак. 102 145
житель ехр5е(ф) остается режущим, то мы будем называть соответствующую теорию квазивероятностной (см. § 3).
В нерелятивистских теориях § И.2 свободное действие Фг^СеФі с комплексно-сопряженными фг = фі* не вещественно: производная по времени в операции Ke==—a/dt— <g даег чиста мнимый вклад в функционал действия, а одночастичный гамильтониан <g дает вещественный вклад. Так же обстоит дело и в релятивистской спинорной теории.
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed