Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
масс. При отличных от нуля ц и ц доказательство теряет силу
вследствие неинвариантности слагаемых tyK'v) и r\K'ty в показателе (22), которые в первом порядке по и получают приращения —іг^иК'ц и ігцК'и^ соответственно. Сделав замену А-+А + ди и сопроводив ее калибровочным преобразованием (23) так, чтобы не изменился аргумент o-функции в (22), полу-чим тождество Ворда для производящего функционала S-матрицы:
ouR (A, 7)) = ехр (...) <щК'Щ — г^иК'гр, (24>
где ехр(...) обозначает приведенный выше множитель перед интегралом, а символ <F> обозначает интеграл (22) с введенным дополнительно под знак интеграла функционалом F. В нашем случае F есть приращение в первом порядке по и показателя экспоненты в (22).
Допустим теперь, что аргументы rj, ц находятся на своей поверхности масс, т. е. удовлетворяют свободному уравнению»
К'ц = х\К' = 0. Мы хотим показать, что в этом случае правая часть (24) обращается в нуль, т. е. функционал S-матрицы на поверхности масс для фермионов является поперечным по векторному аргументу А. На первый взгляд это кажется очевидным, поскольку, например, интеграл <цК/и^>> казалось бы
равен нулю тождественно при условии цК' = 0. В конечном счете это верно, но не столь просто, — аналогичное суждение
относительно интеграла <т]/Слф> было бы уже неверным. Дело в том, что при взятии функционального интеграла поле ^ и^
формы r\K'ty свернется с каким-нибудь полем г|э и Даст линию— фермионный пропагатор A' = В итоге появится выраже-
ние г|/('А'..., представляющее собой неопределенность типа 0«оо: в импульсном представлении нуль цК' умножается на полюс А' = iK'~~x и ответ зависит от способа раскрытия неопределенности.
В нашем случае подобной проблемы не возникает ввиду наличия множителя и(х), разделяющего нуль цК' и полюс А'. Вставка этого множителя в импульсном представлении означает
наличие передачи импульса между цК' и А',, так что полюс А' оказывается полюсом по другому (сравнительно с г\К') импульсу и не может сократить нуль г\К'-
Эти рассуждения доказывают поперечностъ по аргументу А* функционала S-матрицы на массовой поверхности фермионных
аргументов г), ц. Как обычно, из поперечности следует незави-]30
симость от выбора параметра с в калибровочном условии и, как следствие, независимость S-матрицы в обобщенной фейн-мановской калибровке от выбора ядра d.
Столь же просто показать, что изменение вектора п в калибровочном условии сводится к ренормировочному преобразованию фермионных аргументов: на фермионной поверхности
масс R(A, г], ц; п) =R(A, rjZ, Ztj; d), где R(A1 ц, ц; д) — функционал S-матрицы в лоренцовой калибровке с п — д, Z— линейная операция на множестве решений свободного уравнения
/Си. =0, Z = Y0^+Y0 — дираковски сопряженная операция. Операция Z играет роль ренормировочного растяжения (см. § 1.9) и явно зависит от выбора п в калибровочном условии. Мы говорим ,,операция", а не „константа перенормировки'', так как при пфд лоренц-инвариантность нарушена и Z — некоторая нетривиальная матрица по спинорным значкам tj.
Таким образом, ренормированная S-матрица на фермионной поверхности масс поперечна и не зависит от параметров п и с в калибровочном условии (относительно связи поперечное™ и физической унитарности смотри следующий раздел).
3. Поперечность и калибровочная инвариантность S-матрицы на поверхности масс для поля Янга — Миллса. Под массовой поверхностью для векторного поля А понимается, как обычно, множество решений свободного уравнения KA = 0. Вследствие поперечности К любой чисто продольный вектор ди является решением. Общее решение является суперпозицией некоторого чисто продольного вектора и вектора, принадлежащего физической поверхности масс. Последняя определяется как множество всех решений волнового уравнения DA = 0, удовлетворяющих одновременно и лоренцову, и кулоновскому калибровочным условиям: даАа = d{Ai = 0 (два реальных состояния фотона с поперечной поляризацией). Полная массовая поверхность инвариантна относительно градиентных преобразований, что позволяет говорить о поперечности S-матрицы на поверхности масс.
Первое доказательство поперечности для S-матрицы поля Янга — Миллса в лоренцовой калибровке содержится в работе [31]. Здесь мы приведем без вывода результаты [29] для калибровок с произвольными п и с. Они получаются, как и в электродинамике, путем анализа тождеств Ворда — Славнова для функционала S-матрицы (20). Отметим, что использование этих тождеств непосредственно для функционала S-матрицы, а не для функций Грина существенно упрощает все доказательства.
Как и в электродинамике, поперечность, независимость от с и независимость S-матрицы в обобщенной фейнмановской калибровке от выбора d есть вещи эквивалентные, так как из (20) видно, что "градиентное преобразование аргумента А равносильно сдвигу параметра с.
9*
131
Тождество Ворда— Славнова получается стандартным способом: изменения на 6п и 6с параметров калибровочного условия компенсируются в аргументе б-функции в (20) преобразованием В-+В— 2)M~l[on(B—А) + Ьс] переменной интегрирования. Величина DBiO1(B) инвариантна относительно этого преобразования с точностью до несущественного числового множителя, который компенсируется соответствующим преобразованием нормировочного коэффициента в (20), так что под знаком интеграла (20) приращение получает только форма АКВ. Анализируя получающееся тождество, можно показ.ать, ^что на массовой поверхности функционал (20) является поперечным по аргументу А при любом п со всеми вытекающими отсюда последствиями (см. выше) и что при тех же условиях вся зависимость от выбора п содержится в ренормировке волновой функции: R(A; п) = R(ZA; д), где R(A; д) — функционал S-матрицы в лоренцовой калибровке, Z — некоторая зависящая от п линейная операция на поверхности масс А, т. е. на множестве решений уравнения KA = 0.
