Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В пространстве Л°С(С) представление (10) естественным путем продолжается до представления комплексной группы Lc; сузив затем область определения ср(У) до Се и ограничившись A?Le, получим представление Le на пространстве «/Te(Ce).
Сопоставим теперь каждой ср G А°с (Се) функцию ср (< A°z (R) („евклидов образ"), определенную соотношением
Представление LQ на Л%(Се) изоморфно представлению O4 на Л\ (R). Действительно, из (10) имеем <pA(x) = Q (А) ср (A-1X)1
X G Се, А??е. Согласно определению, <?(ех) = у{х) и(срА)(ех) = = ?А(4 откуда
(срА) (ex) = Q(A) ср (A-1JC) = Q (A) ?(<?A-ijc) = Q(A) <р (еА^е^ех).
(AJAe=Se-1AVAe-1
е-гА^Ае-1 = \)
9(x) = v (— Ux х) = ср (е~хх), х ? R.
(И)
139
Введя вместо X ? Се вещественную независимую переменную у = ех?Ц, перепишем предыдущее соотношение в виде
(<РА) (у) = Q(A) <р (еХ~хе~ху), Agle, y?R. Изоморфизм между Z6 и O4 позволяет рассматривать это равенство как представление O4 и писать для любых Ае?04, J'GR1 (?)д (,V) —
- Qie^Ke) ?(А~1у) = Q(Ae) і (Ae-1J/).
Все эти рассуждения можно коротко суммировать формулой (ср.) = (<р)л , определяющей представление O4 на развер-
нутом поле ср по представлению Z6 на исходном поле ср. Всякий лоренц-инвариаптный функционал 5(ф) переходит при
развороте по правилу (5) в 04-инвариантный функционал Se (ср), поскольку равенство S(<p) = S(cpA), A?ZC после разворота принимает вид Se(y) = Se{(<?A)) = Se((y)A ).
е
При продолжении различных соотношений, включающих операцию комплексного сопряжения, следует соблюдать осторожность. Например, равенство ср (х) — ъ * (л) нужно сначала переписать в виде ф(х) = <р*(л;*), после чего его уже можна
продолжать на все х (< С (при переходе к ср это равенство превращается в условие комбинированной вещественности). Точно так же свойство вещественности исходного представления Q(A) продолжается на все AgZ0 в форме Q (A) = Q* (А*). Для AgZ6 имеем Л*= TAZ"1, где T=—g— матрица отражения времени, и условие вещественности Q(A) принимает вид
Q(Ae)=Q-^rAeZ-1).
В комплексном случае ср и ср* следует рассматривать как: два независимых поля Cp = Cp1, <р* = ср2> на которых действуют представления Q1(A) и Q2(A); каждое из них продолжается независимо описанным выше способом. Равенство Cp2 = ср* продолжается в виде ср2 (х) = <р*(л;*) и переходит во взаимную комбинированную сопряженность развернутых полей. Соотно-шение (<рд)* = (<р*)А, или, эквивалентно, Q2(A)=Qi(A) про-
должается в виде_ Q2 (A) = Q1 (А*) и для развернутых полей
принимает форму Q2(Ae) = Q1(ZAeZ"1). Если же <р2(х) = 7<piO*)> где 7 — некоторая фиксированная матрица (например, для
дираковских спиноров), то аналогично получаем Q2 (Ае) =
= т Ql (ZAeZ-1H-*.
6. Примеры. Конкретизируем приведенную выше общую схему на случай скалярного, векторного и спинорного полей (см. § 11 п. 3).
Для скалярного поля Q(A)=I, а ядром евклидовой квадратичной формы ср /Се9/2 свободного действия является операция /Ce = да да — т2 = ?e — /га2, отрицательно определенная на вещественных полях.
140
Для контравариантного векторного поля Q(A) = A, для ковариантного — Q(A) = A~lT = g Ag. Расширение на Lc тривиально, для развернутого контравариантного поля получаем
Q(Ae) = e~1Aee. Комплексное поле преобразуется так же, как вещественное.
Можно сделать4 линейное преобразование, перейдя от_раз-
вернутого поля В(х) (контравариантного) к полю Ш (х) = е В (х), которое преобразуется подобно 04-вектору: А (х) = Ае$(А-гх).
Инвариантная квадратичная форма становится тогда евклидовой: Bg В= — 3» Зі.
Ядро К% евклидовой квадратичной формы свободного действия получается из (11.38) стандартной заменой t -» — it, т. е.
д - ед. При замене В -> Ш имеем ВаКІф^ = 9Fq^\ где
Я* = (*"1 = (?e - ™?) 8«р - <?.<?р (12)
— вещественное и отрицательно определенное на вещественных полях ядро (в импульсном представлении <7аГ.=~(р2-\-т2)6a?+
+ PaPp где ^a? —символ Кронекера, р2 ^Pq-\~P2— евклидов квадрат длины вектора).
Обратимся теперь к четырехкомпонентному дираковскому спинорному полю фх(л:) = ф(л:), (х) = т°Ф* (х) (представление ^-матриц предполагается таким, что ?° симметрична). Развернутые поля и ф2 (в этой главе обозначение ф используется только для развернутого поля и его не следует путать с'ди-раковским сопряжением) связаны между собой соотношением
ф2 (-^) = Т°Ф T (— Л X) = T^1+(X).
Приведем сначала-необходимые предварительные сведения относительно параметризации комплексной группы Лоренца. Пусть X — произвольный вектор из С, aa — набор четырех эрмитовых 2 X 2-матриц : а0= 1, с, — матрицы Паули. Поскольку
определитель матрицы х=хаоа совпадает, как легко проверить, с инвариантной формой xgx = xaga^9 всякое преобра-
Л А л
зование x-+x' = axb+c произвольными унимодулярными (т.е. имеющими единичный определитель) матрицами а и b является преобразованием Лоренца х -> х' = Ax для вектора х. Воспользовавшись равенством 2ха =tr(xoa)t нетрудно найти матрицу Л:
(индекс а в действительности контравариантный). Можно показать, что множество матриц A (a, Ь) исчерпывает всю группу Z,c, и убедиться с помощью (13) в справедливости равенств
merries