Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Васильев А.Н. -> "Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике" -> 50

Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.

Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике — Ленинград, 1976. — 295 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcionalmetodi1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 121 >> Следующая

3. Теория возмущений для калибровок пВ-{-с = 0. Для построения теории возмущений нужно для выбранной калибровки вычислить функционал ^f{B) и гауссов интеграл (7). Последнее можно сделать лишь для простых линейных калибровок вида яа#7 + ? = 0, где с (х) = ^аТаса(х) — заданная
матричная функция, па — линейная операция на пространстве матричных функций. Мы будем считать п либо некоторым числовым вектором, либо операцией дифференцирования типа да.
Калибровку даВ* = 0 называют лоррнцовой или поперечной, O1B1 — 0 — кулоновской пли радиационной, калибровку ІЗ0 —Q с числовым вектором /г = (1, 0, 0, 0) называют аксиальной.
При вычислении интеграла (7) в линейных калибровках зависимость от с легко выделить, сделав сдвиг Ва-+Ва + Iа на продольную функцию Iа = <Заср, которую следует выбрать так, чтобы сократить слагаемое с в аргументе 6-функции. Ясно, что нужно взять ф = —(пд)~1с. При таком сдвиге из (7) выделится множитель expiAl, а квадратичное слагаемое BKB не изменится вследствие поперечности К. Оставшийся интеграл можно взять с помощью сдвига В-+В + ІАА, подобрав матрицу Д так, чтобы, во-первых, сдвиг не менял аргумента 6-функции, что равносильно требованию пАА = 0 при любом А, и, во-вторых, чтобы сдвиг устранял перекрестные (т. е. содержащие В я А) члены в показателе интегрируемой экспоненты на поверхности пВ = 0. Нетрудно убедиться, что эти требования определяют матрицу Д однозначно, если не касаться вопроса о расстановке добавок ±Ю в знаменателях (который следовало бы решать правильной постановкой асимптотических условий по общей схеме п. 1.6.4). Получающаяся матрица А зависит лишь от п и в импульсном представлении имеет вид
А
п
аЬ № + 10
nk
S
(л?)2 J *
(9)
123
Таким образом, интеграл (7) в калибровке пВ + с = 0 оказывается равным
Gf (Л) = exp (- AAn A12 + і Al), (10)
где An и / определены выше. Матрица An, которая будет играть роль пропагатора в диаграммах теории возмущений, симметрична по значкам а, ? и четна относительно замены k —>—k; следует также отметить, что эта матрица вырождена, поскольку она ортогональна вектору п по каждому индексу: A71^ = MAn = O. Подставив в (9) конкретные значения п, получим явные выражения для пропагатора в выбранной калибровке; в частности, при па = ka получается стандартное выражение для пропагатора в поперечной калибровке.
Перейдем теперь к вычислению функционала ">,(?), определенного соотношением (5). Этот функционал входит в (8) в комбинации с b[f(B)], и поэтому нам достаточно знать лишь его значение на поверхности f (B) = O. На этой поверхности аргумент о-функции в (5) обращается в нуль при 2 = 1, что позволяет ограничиться окрестностью единицы при вычислении интеграла по Q. В этой окрестности Q = 1 —im, DQ~Duy
Bl = Ва -f-20*и. Взяв/'(B) = пВ -j- с при учете равенства f (B) = O у
получаем /(B11) = паФаи = Mu и j DQ 8 [f(BQ)] ~ ^ОиЦМи) =
^det/И"1 (мы воспользовались обобщением известной для обычных интегралов формулы). Выбрав должным образом нормировочную постоянную в (5), можно утверждать, что интересующий нас функционал со, (В) на поверхности пВ-\-с = 0 совпадает с функционалом
<¦>, (В) = det M J det Af0 = det [Па <2>a]/det [пЖ\, (11)
который зависит от В через посредство второго слагаемого в (2) и нормирован условием щ(В) = 1 при є = 0. Для абелевой группы функционал (11) обращается в единицу.
Правая часть (11) определяет функционал сот при любых В,. а не только на поверхности f, но вне этой поверхности функционалы со/ и COf различаются: первый из них является калибровоч-но-инвариантным и явно зависит от параметра с в калибровочном условии, тогда как второй от с не зависит, но не является
калибровочно-инвариантным (нетрудно увидеть, что со (В; п, с) при с = —паВа совпадает с со (В; п) для всех В).
На практике в (8) всегда используется функционал (11), а
не со,. Как уже говорилось, введение множителя о), равносильно
добавке SS,= —/ Ina), к функционалу действия. Эту добавку
можно представить как результат взаимодействия поля В с некоторым вспомогательным комплексным фермионным полем ^4, записав множитель <«, ~ det M гауссовым интегралом
124
і tr
const j D^+Db ехр і '1>+Mty (для бозонного поля 6, 6+ мы получили бы из (1.161) не det Af, a det Af-1). В форме =
= па (да + U [ZT, ... слагаемое ty+nadaty играет роль свободного действия для поля 6, ^+, а слагаемое с коммутатором соответствует взаимодействию типа Юкавы (см. п. 1.4.6) скалярного фермионного поля 6, >Ь+ с векторным полем В. Роль пропагатора (свертка ф с <У) для фермионного поля иг-
— 1 Ot
рает величина i(nd)~x = iMo . Обозначив Un0[B , ... ]=L, для 85/= — Hr In [А1о~1 (MQ-\-L)] получаем ряд
Mo1L - 4" M^1LMO1L +...), (12)
представляющий графически аналогичную (1.114) сумму замкнутых петель поля 6+ и имеющий смысл поляризационной добавки к действию поля В из-за его взаимодействия с полем 6, 'V". Символ tr в (12) обозначает след линейной операции в
пространстве матричных функций и (х) = ^аТаиа(х). Переходя
к „координатам" &Л**;), любую такую операцию можно представить в виде матрицы по изотопическим значкам а, Ь. Операции па, d°\ Af0 по изотопическим значкам кратны единичной матрице, а для операции [Ва, ... ] из определения
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed