Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Л* (a, h) = A(b, а), Ат(а, b) = A (Ь+, а+), Л-1 (a, b) = A(ar\ Ь'1).
(14)
Вещественным преобразованиям Лсоответствует а = Ь.
Hl
Возвратимся теперь к спинорному полю. Представление (10) комплексной группы Lc на спинорах феее можно задать
4х4-матрицей Qx(A)=Q1(^, *) = (q ^+)» положив ПРИ этом
T0-= о)' ^ЛЯ П0ЛЯ ^2 = ^° матРИ1*У Q условимся писать
справа: (ф2)А(л) ='M^-K)Q2(A)- При вещественных х и А справедливо соотношение Q2(A)=If0Q^(A)-T0, которое продол-жается на комплексные A ?LC в виде Q2 (A) = ^°Q*T (A*) ^0.
Из (14) ясно, что замена А ~> А* эквивалентна перестановке а и &, откуда следует, что Q2 (A) = Q2 (a, b)~ 70Q1+(^1 a) ^0 =
Билинейные формы, инвариантные относительно вещественной группы L, оказываются автоматически инвариантными относительно Lc. Например, 0Ь)А(^ = ^2^) Qi (А)Фі = Mi- Со~ отношения, выражающие тензорные свойства -(-матриц, также автоматически продолжаются на Lc. Отсюда ясно, что свободное действие (11.41) /,с-инвариантно.
Как указывалось в предыдущем разделе, подгруппа LeC?c состоит из всех унитарных матриц A?LC- Из (14) видно, что унитарность А(а, Ъ) эквивалентна унитарности матриц а и Ь,
поэтому представления Qb2(A)=Qb2(Ae), Л?1е, A6^O4 оказываются унитарными.
Свободное евклидово действие получается из (11.41) заменой t-^ — it, что равносильно переходу к развернутым полям
<|>, 2 и замене *{°да -> та (е^)а в операции К. Производная д на
развернутых полях преобразуется уже как евклидов вектор:
д-> Аед. Можно ввести и „евклидовы ^-матрицы44 -^ = (^)*, т. е.
1°e — i'f, ^ = fA, ? = 1, 2, 3, которые также преобразуются как
евклидов вектор; форма ^а (ед)а = ^1да на развернутых полях
явно 04-инвариантна.
§ 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ
Рассмотрим гауссов интеграл с евклидовой квадратичной формой
G(e0) (A) = const JDcp ехр Г 1
?^е<р + у А
(15)
нормированный условием G(e0)(0) = 1. Интеграл берется формально с помощью сдвига ф —>- ср — K^1A, но, чтобы придать ему точный смысл, мы должны, руководствуясь общими правилами п. L6.4, уточнить пространство функций, по которому произво-
J 42
* k
t
ч
дится интегрирование в (15), что эквивалентно доопределению*
операции Разумеется, мы хотим, чтобы это доопределение привело нас к известному заранее евклидовому пропагатору /W который, как видно из равенства Ке&е — —1, является одной*
из функций Грина —Кё1 для операции Ke-
Общая схема п. 1.6.4 полностью приложима и к рассматриваемому случаю, и из нее следует, что искомое просгранство интегрирования Е(Ае) можно определить как множество всех функций вида Аеф/, где q/ пробегает то пространство, из которого берется аргумент Л в (15).
В п. 1.6.4 мы считали, что А принадлежит пространству E хорошо убывающих на бесконечности функций, обладающих такими же, как у поля ф, свойствами вещественности. В евклидовой теории естественно рассмотреть еще одну возможность: А принадлежит пространству Ё хорошо убывающих функций
со свойствами вещественности развернутых полей ф. Оба варианта допустимы с точки зрения общей схемы п. 1.6.4 и оба
дают для Ge0) (А) выражение ехр[хЛАеЛ/2], совпадающее с производящим функционалом функций Грина евклидовой свободной теории (как всегда, и = ±1 в зависимости от статистики). Стандартные аргументы п. 1.6.5 позволяют тогда написать следующее интегральное представление для производящего функционала функций Грина евклидовой теории с произвольным взаимодействием:
Ое (A) = const J Dcp exp [Se (?) + <?А]. (16)
Здесь Se = Soe + SVe— полное евклидово действие; 5ое(ф) = = ф/(еф/2 — квадратичная форма свободного действия; 5г>е(ф) — евклидов функционал взаимодействия. Представление (16) возможно в двух вариантах: по исходным полям, когда AQ Ег а интегрирование производится по пространству Е(Ае) = АеЕу и по развернутым полям, когда A Q E1 а интегрирование производится по пространству Е(Ае) = АеЕ.
Обсудим эти пространства подробнее. Важным отличием евклидовой теории от псевдоевклидовой является то, что для всех рассмотренных в гл. II систем, за исключением квантово-механической свободной частицы (п. II. 1.2), евклидова свертка Ае(х, хг) оказывается хорошо (экспоненциально) убывающей функцией разности времени t—f. Вследствие этого линейная операция с ядром Де не выводит из класса хорошо убывающих функций, так что функции из пространств Е(Ае) и Ё(Ае) оказываются хорошо убывающими. Для нерелятивистской фер-мионной свертки (11.26) сказанное верно тогда, когда разбиение уровней на группы 1 и 2 производится в соответствии со знаком энергии: уровни с положительной энергией свободны, а с отрицательной — заполнены. Так и будет, если функции
143
Грина определяются аналогичными (1.58) средними по основному состоянию.
Квантовомеханическая свободная частица (п. П. 1.2) является исключением. В этом случае евклидова и псевдоевклидова свертки различаются лишь множителем і, а функции из пространств Е(Ае) и Ё(Ае) имеют ненулевые асимптотики ф(±) при t—>± сю. Нетрудно указать, какие именно: ф(+) = с, ф(_} = сЧ, причем для пространства E(Ae) обе константы с, с' вещественны, а для пространства Ё(Ае) константа с' будет вещественной, ас — чисто мнимой.
