Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
= Ф*(—t, х)=ф+(Х), взаимная сопряженность полей ф2 = Фі* переходит после разворота в комбинированную сопряженность*
Ф2(Х) =фі*(—t, х) = фі+(х), и т. д. Свойства комбинированной вещественности в точности соответствуют свойствам комбинированной эрмитовости операторов поля в представлении взаимодействия.
Обратимся теперь к функционалу S6 (ф) и покажем, что для действия, представляющегося интегралом по времени от вещественного лагранжиана, соответствующее евклидово действие
5е(ф) также вещественно.
Действительно, разворачивая интеграл tS(<p) = і fdt 2(t) па правилу (4), придем к интегралу fdt3?(t)} представляющему согласно (5) евклидово действие 5е(ф). Из вещественности
(t) следует комбинированная вещественность 3E(t)\ действие
5е(ф), будучи интегралом по симметричному промежутку от комбинированно-вещественной функции, вещественно.
Одновременная вещественность 5е(ф) и 5(ф) находится в очевидном противоречии с равенством (5), что говорит о незаконности формального евклидового разворота действия (тем не менее, выведенные, исходя из (5), равенства (8) при п^=0 являются верными).
13Г
Следует подчеркнуть, что вещественность евклидового действия гарантирована лишь тогда, когда 5е записывается в виде
функционала от развернутых полей ср. В частности, в евклидовом варианте фг^ефі = jdx^i—д/dt—<§)фі нерелятивистской
-формы (11.20) поля фі и ф2 следует считать не просто комплексно- (как в псевдоевклидовой теории), а комбинированно-сопряженными. В этом случае форма JcLxц>2- дц>\/ді будет вещественной, тогда как для комплексно-сопряженных ф2 и фі
эта форма является чисто мнимой. Форма /б?Хф2<§фі, равно как и функционалы (II.1), (11.33), для которых операция К содержит лишь производные второго порядка по времени, вещественна как для исходных, так и для развернутых полей.
В заключение отметим еще одно свойство (ср): отсутствие знакоопределенности квадратичных форм свободного действия. Рассмотрим в качестве примера евклидов вариант
квантовомеханического осциллятора (II.1), для которого S0e(<p) =
^cp/Qcp/2, где Kq-т{O2IOt2 — о)2). Если бы поле ср было вещественным, то эта форма была бы отрицательно-определенной (в импульсном представлении ЛГе = — ш {E2 + <»2)). Но для развернутого поля ср, обладающего свойством комбинированной вещественности, это уже не так. Равенство ср (t) = <р®,(—- t) показывает, что независимой переменной можно считать комплексную функцию ср (t) только на одной полуоси времени, например на полуоси t^O. Выразив действие через независимые переменные 9(?)ср, 9(?)ср* при учете четности /Се относительно замены t-> — t, получаем 250е (?) = f dt 0 (t) [ср KQ ср + <р*/Се?*].
Введя двухкомпонентное поле Ф = (ср, ср *•), приходим к форме
So* (Ф) = 4" J dt 6 (0 ф* (д° 7O6)ф- О)
Эрмитовость входящей сюда двумерной матрицы обеспечивает вещественность формы, но в то же время видно, что она не зна-коопределена: собственные значения двумерной матрицы равны ± I Ke I, где I Ke I — абсолютные величины собственных значений Ke- Можно сказать, что форма (9) является ,,максимально неопределенной" — ее собственные значения расположены симметрично относительно нуля.
Нетрудно убедиться, что это верно для любой евклидовой
-формы 5ое (ф) .
5. Разворот группы Лоренца в O4. В этом разделе мы покажем, что любое лоренц-инвариантное действие 5(ф) переходит при евклидовом развороте в 04-инвариантное (или евклидово
инвариантное) действие 5е(ф). ¦138
ч
Обозначим через R пространство всех вещественных четырех-мерных векторов x — t, х; С — пространство комплексных х; СесС — подмножество векторов вида ех, где x(«R, а е — диагональная матрица с элементами eQ0 = i, еи = е22 — ^зз — 1.
Преобразование Лоренца описывается 4Х4-матрицей А, удовлетворяющей условию ATg-A = g, где g = — е2 — метрический тензор. Обозначим через L группу собственных преобразований Лоренца (вещественные А с det A = I и A00 > 0); *LC — группу комплексных преобразований с det A=I; 1е — подгруппу Z,c, состоящую из всех комплексных матриц A Q Lcy переводящих Се в себя. Ясно, что ?е состоит из тех А?/,с, у которых элементы A0. и Аю чисто мнимые, а прочие элементы вещественны. Такие А унитарны, и обратно: всякая унитарная матрица А??с содержится в ?е.
Сопоставим каждой А ? ?е матрицу Ае = еАе'К Матрицы Ае вещественны, ортогональны
и имеют единичный определитель, так что соответствие А -> Ае есть изоморфизм между ?е и O4. Поэтому всякое представление Lc в качестве подпредставления содержит представление L е ¦""^ O4,
Обозначим через Л° R(6), Nc(0) пространства соответственно
вещественных и комплексных полей, заданных на области 0 (т. е. X?6). Пусть ср (х), x?R— некоторое поле (у многокомпонентного поля подразумевается значок), на котором задано линейное представление группы L:
Та (*) = Q (А) ?(Л-1*). (10)
Расширим исходное пространство полей <р(Х) до ЛРС(С). Если поле было комплексным, то расширяется лишь область определения, причем расширение с R до С понимается как аналитическое продолжение ср(Х); если же исходное поле было вещественным, то расширяется и область значений ф: JCR-> А°с.
