Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Вычислив функциональный ігнгеграл (5^) методом стационарной фазы (см. п. 1.6.6) и ограничившись первыми двумя членами в аналогичном (!.171) разложении, получим известное квазиклассическое приближение для амплитуды перехода. Условие стационарности действия S (<р) = I dt [wcp2/2 —
есть уравнение классической траектории mcp -}-?^^ = 0 (здесь и далее fz~
= dzf = dfldz), дополненное краевыми условиями Cp(T1J = X1, ср •I2^-X2. Допустим,что искомая траектория единственна (в противном случае результат нужно просуммировать по всем траекториям), и обозначим ее q. Первый член аналогичного ('.17I) разложения дает в амплитуду (56) множитель ехр IS (q), а второй определяет предэкспоненту, которая будет пропорцио-
_-і і у су
нальна det К , где К —— mdt —^rqq = Ко + и — ядро второй вариации
действия на траектории. Ко и К рассматриваются как линейные операции в пространстве квадратично интегрируемых функций на отрезке т2 < / < tj, определенные на плотном множестве дважды дифференцируемых функций с нулевыми краевыми значениями и квадратично интегрируемой второй
производной. Известно, что симметричная операция Ко = — тд} на такой
области самосопряжена. Операция умножения на и = — wqq ограничена
(предполагается, что траектория не проходит через точки сингулярности потенциала), поэтому /C = ZC0 + « также самосопряжена.
В строгом смысле det существует лишь для операций вида 1 -f В, где В — ядерный оператор (сумма модулей собственных чисел конечна). Ядерным
будет оператор /<0 (интегральная операция с ядром — /А і t, t' ), так как
его собственные числа убывают как 1/я2. Произведение ядерного оператора
на непрерывный есть ядерный, поэтому det/C0-1ZC = det (l-f-/C0"1«) хорошо
определен. Его можно вычислить явно, выразив ответ в терминах классической траектории. Приводимое ниже доказательство принадлежит В. С. Буслаеву.
Рассмотрим для простоты одномерный случай и воспользуемся для вычисления определителя формулой (1.147): дх In det /C0-1 (/<—X) =— tr Gx, где
112
Gx = (К — X) 1 — резольвента операции /<. Это интегральная операция с ядром Gx{t, f) = [bltryi(t)y2(lf) + Qt,ty2 (0 З'ї (О] mw> где 6/r = o (/ — Г), Уі и У-j — решения уравнения {К — X) у = 0 с условиями у ^ = 0, y-L (т^ = 1
для /=1,2 соответственно, постоянная w = у\у2 — У1У2 — их вронскиан. При Z = t1 с учетом краевых условий для у і получаем w — —у2 (ть (мы указали явно зависимость от параметра X). Ядро G} Kt, V) непрерывно при
t—t', и tr Gx = {mw)~l \ dty^y-2. Этот интеграл можно взять, воспользовавшись равенством у]У2 = тд{ Уідху2 — Уідху2] » Для вывода которого нужно
написать уравнения для V1 ^^, X) и y2(t, X'), умножить первое на у2 (t, ?/), а второе — на ух (t, л), затем вычесть их друг из друга и отобрать члены
первого порядка малости по разности X' — X. Итак, tr Gx = w~l [yidAy2—
— УідАу2] |...» гДе І... обозначает разность значении на концах интервала. Учитывая равенство w —— у2 (ть л), краевые условия для yt и вытекающие из них условия дія дху2, получаем U Gx = — Ox ІпУгСч» ^)- Интегрируя
по X, находим det Kq~1 (К — X) у2 {Z1, X^y2(t1, 0), где у2 — аналогичное у2
решение для задачи без потенциала: /C0Vj = O, у2(т2)=0, У2(т2) — 1- Оно
легко находится: y\{t)=t — т2, откуда у2 Ct1) = t1 — x2 = т, det/С^-1 (/С—X) =
= Уз ( ч> >0/t-
Нас интересует clet /4^-1ZC = У2 0)/т- Решение у2(Л 0) можно связать
с классической траекторией q. Для этого рассмотрим семейство траекторий q (/; X2, ^j), где X2 и V2 — начальные координата и скорость соответственно:
q (tj , V2) —х2, (tj ^j. V2) = V2. Из этих условий следует, что производная qrj = dqldv2 удовлетворяет краевым условиям для y^-q-o {i2)=dx2\dv2 = О,
• • •
qv (т2) = Ov2IdV2 = 1. Дифференцируя по параметру i/2 уравнение mq-r<Wq^i видим, что <7.0 удовлетворяет и уравнению для y1'.mqv-\-V,qqqv = ^. Поэтому Яъ — У-2 и <Ь1г"ь v2);t = det K^1ZC. По смыслу # (t1; X2, Vj) = X1 — конечная координата, a qv — Ox1IOv2 — производная конечной координаты по начальной скорости. Если считать независимыми переменными X1 и X2,
то Ox1IOv2 -> {Ov2IdX1)"1 = — [md2S {q)ldxldx2]~\ где 6* (q) — действие на классической траектории с заданными X1 и X2 (учтено равенство oS {q)ldx2 = = — mv2).
Учитывая нормировку амплитуды для свободной теории, окончательный результат можно записать следующим образом:
{Хі, ть X2, То) Iкпазш
<л
J_ d°-S {g) 2к ' Ox1Ox2
1 2 "
exp /.S {q).
При обобщении на многомерный случай выражение в квадратной скобке становится матрицей по индексам, нумерующим Jc1 и х2, а [...] следует понимать как определитель этой матрицы.
Квазпклассическое приближение используется и тогда, когда Kq1K
имеет отрицательные собственные значения. Каждое из них дает вклад — тс/2
_I2 _12
в фазу det (Kq~1K) , следовательно, (Ox1IOv2) ~1,2 = | Ox1IOv2 \
• exp V— Jriv/2), где v — число отрицательных собственных значений (индекс Морса). По теореме Морса v равно числу фокальных (по отношению к семейству q (/; X2, V2)) точек траектории, т. е. числу таких значений / в интервале t2 < / < t1, для которых dq (/; х2, V2)IOv2-O (в многомерном случае — нуль определителя с учетом его кратности). Действительно, если рассматривать задачу на интервале т.2 < t < tf с переменным верхним пределом
