Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
ПРОСТРАНСТВУ
Для систем с уравнениями движения второго порядка единое поле ф, по которому производится интегрирование в формулах типа (56), (1.164), представляет лишь обобщенные коор-
* Точнее, о неприменимости теории возмущений в таких условиях.
8*
115
динаты системы. При желании число переменных всегда можно удвоить, перейдя к интегралам по траекториям в фазовом пространстве координат и импульсов. Мы покажем, как это делается на примере квантовой механики; соответствующие построения послужат одновременно хорошей иллюстрацией и дополнением к материалу п. 1.3.4, посвященного теориям с производными поля повремени во взаимодействии.
Рассмотрим классическую систему с гамильтонианом общего вида M(q, р) = р2/2т +W(Q, р). При квантовании q и р< становятся операторами, причем квантовый гамильтониан взаимодействия V определяется неоднозначно ввиду произвола в рас-
Л Л
становке не ко м м ути р у ющи х множителей q и р. Одним из воз-
Л Л
можных вариантов квантования является выбор V^Sym^^p), обеспечивающий эрмитовость V.
Л Л
При переходе к представлению взаимодействия q и р в гамильтониане V заменяются на соответствующие операторы
q(t) її pit). Оператор q(t) имеет вид (7), a p(t) в представлении взаимодействия от времени в действительности не за-
л
АЛ»
висит: p(t) = p=mq{t).
Л
Л •
На языке одного поля y = q оператор SymW[у, тср) содержит произзодные по времени и нужно строить, как пояснялось в п. 1.3.4, соответствующее эффективное взаимодействие, которое и играет роль S0 (ср) в формулах (56), (1.164).
Но можно поступить иначе, посчитав q(t) и p(t) двумя независимыми полями. На языке двухкомпонентного поля ср = = (ср0, Cp1) (ср0 = <7, Cp1 = /?) гамильтониан взаимодействия V уже не содержит производных по времени и потому соответствующий ему функционал взаимодействия (1.59) совпадает с классическим выражением: Sv(%, ?i) = — Jaf^(cp0, Cp1). Второй путь
естественно приведет нас к интегралам по всему фазовому пространству.
Прежде всего вычислим по стандартным правилам (УУ-про-изведение определено в п. 1.2) матрицы простых (п) и хронологических (А) сверток для дзухкомпонентного ПОЛЯ Cp =
= (<Ро. <Pl) = (?> P)-
о=-?-(? ?). о-ИЗ»;+ "Ir)- <57)
Для сокращения записи обозначено Bttr = d(t— tf).
Классическим свободным действием для ср будем считать выражение
S0 (?) = ^dt [pq-p\2m] = §dt[f{ ?0 - tf?m). (58)
Ему соэтзетстзует свободное уразнение Ky ~ 0 с матричной операцией Л": /C00 = O, K10 = — K01=O1Ot, Kn = — ^!т- Нетрудно
116
проверить, что матрица хронологических сверток (57) является, как обычно, функцией Грина свободного уравнения: KA = і. Приведем также соответствующую действию (58) квадратичную форму (1.4):
So (?) = -^ ~-\-\dt \pq-qp — р2'т]. (59)
Все соотношения пп. 1.6.4—1.6.6 справедливы, разумеется, и для двухкомпонентного поля ф. Пространство интегрирования E(A) определяется по общим правилам п. 1.6.4. По известной матрице сверток (57) нетрудно найти асимптотики двухкомпо-нентных функций ф ??(Д): ф0 = с, фі = 0 при ^ -> оо и ф0 = с'?, фі = тсг при /-> — оо; с и с' — произвольные вещественные постоянные.
Если нас интересуют лишь функции Грина компоненты ф0 (т. е. оператора координаты), то в (1.164) можно взять линейную форму частного вида фоЛ0 и выполнить функциональное интегрирование по фь т. е. по импульсу. Мы придем тогда к обычному интегралу по траекториям в координатном пространстве, но вместо простого классического функционала взаимодействия Sv(фо, фі) получим то самое эффективное взаимодействие, о котором говорилось в п. 1.3.4 (если Sv действительно зависит
ОТ фі).
При получении аналога формулы (56) нужно сначала вычислить амплитуду (49) для двухкомпонентного поля ф, положив
Л Л Л
в (49) фЛ = ф0Л0 + фіЛь Результат, который мы приведем без вывода, является непосредственным обобщением (51) на случай двухкомпонентного поля: в линейную форму Af=A0fo + Aifi войдет решение свободного уравнения.Kf = O с /0 = x2 + v(^—тг), fi = mv, где V=(X1—X2)/(Ti—T2) — скорость на прямолинейной траектории. Матрица Л оказывается функцией Грина задачи с нулевыми краевыми условиями для компоненты фо без каких-либо ограничений на краевые значения компоненты фЬ
Обозначим E0 пространство двухкомпонентных функций ф, удовлетворяющих этим условиям, и рассмотрим функциональный интеграл по многообразию E0 + f от exp /[S0(ф) +Л ф]. Нетрудно проверить, что для любого ф G E0 значения S0(ф) и So'(ф) совпадают и 50(ф + П = S0 (ф) + So(f), причем S0(f) совпадает с показателем экспоненты в (48). Поэтому доказательство пропорциональности выражений (51) и (53) переносится и на рассматриваемый случай, и мы получаем
st>(xl9 T1; х2, Tv) = const j Dp J Dq exp іЗкл (q, p). (60)
По всем (x1x2)
Этот интеграл представляет амплитуду перехода для квантовой теории с гамильтонианом H = p2j2m +Symw(q, р); входящий
117
в (60) функционал 5КЛ = S0 + Sv = jdt \pq — Ж(ц, р)\ является классическим действием на фазовом пространстве для рассматриваемой теории.
Формулу (60) иногда рассматривают как универсальный рецепт ,,правильного квантования'', правильного в том смысле, что оно автоматически обеспечивает эрмитовость квантового гамильтониана взаимодействия и, как следствие, унитарность оператора развития. Но это, конечно, всего лишь один из таких
