Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
А* (г — r°ss' С J я С ехР 1 1Е С "О" P <х' - х)1 (9К\
где SgOe(P) — + 1 в соответствии со знаком є (р), x = t, х, s.
Для таких систем обычно рассматривается парное взаимодействие, гамильтониан которого в шредингеровском представлении имеет вид
•V=t-j- J frfxtfx' ф+(х) І+(х')^(х, х')>(х')Ч(х), (29)
где VJ {х, х') — симметричный потенциал парного взаимодействия. Оператор (29) записан в Л^-форме, а соответствующий
102
ему классический функционал взаимодействия (1.59) представляет, как указывалось в п. 1.3.2, Sym-форму оператора —
— j* dt V (Л, которую легко найти с помощью (1.45), исходя из
известной /Уд-формы того же оператора. Отметим, что из (1.45) вытекает следующее правило перехода от Л^-формы к Л^-форме:
NaF{ 9) = Nb (ехр |"4- -if (я* - *в) Тт
Здесь ср==. (ij;, \J)+), па и дь — соответствующие матрицы сверток (25). Если работать с Мь-произведением, то роль приведенной производящей вершины (см. п. I. 4.1) в диаграммах теории возмущений будет играть Л'б-форма оператора —ifdt\(t). Главный член функционала взаимодействия имеет вид (I. U6) и может быть сведен, как было показано в п. I. 4.7, к взаимодействию типа Юкавы.
2. Аюм. Это система с лкрбым числом электронов, находя-
щихся в кулоновском поле ядра: <§ = p2l2m + v(x), Фа(Х)— волновые функции электрона в кулоновском поле, 8а — соответствующие энергии. Индекс а пробегает как дискретный, так и сплошной спектр. Дискретные уровни энергии вырождены, совокупность всех состояний с одинаковой энергией называют оболочкой.
Важной задачей является определение энергии основного и возбужденных состояний атома с заданным числом электронов, взаимодействующих между собой посредством парного куло-новского взаимодействия (29).
Эту задачу можно решать методами теории поля исходя из формулы (1.74), которая справедлива для любого невырожденного собственного состояния свободного гамильтониана. Для оператора (21) невырожденными будут только такие состояния', в которых часть оболочек полностью заполнена, а остальные полностью свободны. Если хотя бы одна оболочка заполнена лишь частично, то соответствующий уровень H0 заведомо вырожден, так как энергия не меняется при изменении способа размещения электронов в частично заполненной оболочке.
Для состояния |0&) с полностью заполненными оболочками можно ввести соответствующее yVb-произведение и стандартным образом представить входящий в (1.74) логарифм ожидания S-матрицы в виде суммы связных вакуумных петель. Не вдаваясь в подробности, отметим, что энергии состояний, отличающихся на одну частицу или дырку от состояния \0Ь> с полностью заполненными оболочками, можно найти из спектраль-
А А і *
ного представления функции Грина (Ob | TdHy(X)i|)r (х')] I Ob), где I Ob) —собственное состояние полного гамильтониана, переходящее в \0Ь> при выключении взаимодействия между электронами. Эту функцию Грина можно вычислять стандартными
103
диаграммными методами исходя из соотношения (1.73), которое справедливо для любого невырожденного состояния.
Для кулоновского поля условие невырожденности является существенным ограничением, так как кратность вырождения очень высока. Нужно, однако, сказать, что на практике энергии уровней вычисляют обычно не с помощью обычной теории возмущений* по межэлектронному взаимодействию, а методом самосогласованного поля Хартри — Фока [22, 23], о котором будет немного сказано в п. VI.2.7. Формулы нестационарной теории возмущений для вырожденного уровня, обобщающие соотношение (1.74), выводятся в Приложении 1.
3. Электроны в твердом теле, фонрны. В этом случае
<§ = р2/2т -T0IT—ц, где W—периодический потенциал решетки; Фа(х)—волновые функции электронов в заданном периодическом поле; Еа — соответствующие энергии (как известно, образующие ЗОНЫ), 8а = Еа — \l. В ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИ H0 ВСЄ УРОВНИ с Ea<ix (jut — энергия Ферми) заполнены, должным выбором fi можно получить любую наперед заданную концентрацию электронов. В простых моделях часто пренебрегают потенциалом решетки и рассматривают электроны проводимости как свободный газ.
Помимо кулоновского парного взаимодействия (29) глежду электронами важную роль в твердом теле играет взаимодействие электронов с колебаниями решетки — фононами. Его гамильтониан в шредингеровском представлении пишут [21] в
виде V = g ^dx^^f (x)i>s(x)<?(x). В этой формуле х обозначает только пространственную координату, 5 — спиновый ий-
деке, g — константа связи, <в(х) — эрмитов оператор фононного поля. В представлении взаимодействия
e(x) = (2^)~dli{dk Y Цг[а+{k) exp (ikx) -f а(к)ехр(— ikx)],
(31)
где х = (% х); d — размерность пространства х; kx =&kt—кх; є& = Я|к|; константа К — скорость звука; а+(к) и а (к)—бозон-ные операторы рождения и уничтожения фонона с импульсом к. Поле <р(Х) имеет смысл плотности связанного заряда, которая пропорциональна дивергенции векторного поля деформаций решетки. Из трех акустических ветвей поля деформаций вклад в дивергенцию дает лишь продольная. Приведенный выше гамильтониан V моделирует сильно экранированное кулоновское взаимодействие электронов со связанным зарядом, возникающим при деформациях решетки.
