Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Васильев А.Н. -> "Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике" -> 44

Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.

Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике — Ленинград, 1976. — 295 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcionalmetodi1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 121 >> Следующая

Отметим, что при определении из (50) ядра квадратичной формы A(t, t') нужно сделать симметризацию t+±t'. Функция (52) отличается от A(t, Ґ) на решение классического свободного уравнения Кц) = О по переменной t (у нас K =—md2!dt2). Отсюда следует, что А, как и А, является функцией Грина свободного уравнения: KA = і. Эта функция Грина выделена среди прочих тем, что она удовлетворяет, как нетрудно увидеть из
(9) » (52), условиям А(ть /') =А(тг, Ї) = О, откуда ясно, что
Л является функцией Грина для уравнения Кц) = t|) с дополнительными условиями ф(ті) =ф(тг) =0. Это свойство однозначно
выделяет А среди множества всех функций Грина свободного уравнения.
Для дальнейшего важно также отметить, что входящая в (51) функция f является решением однородного уравнения Kf = O, удовлетворяющим условиям f(%і)=Хі, і= 1, 2, которые определяют это решение однозначно.
Отвлечемся теперь от амплитуды (49) и рассмотрим интеграл
j ехр I [dt ^тч2 + ?А\== j D<pехр*[S0(T) +<рЛ]. (53)
(x1x2) %:х (x1x3)
Символ (X]X2) указывает, что интегрирование производится по множеству (не являющемуся линейным пространством) вещественных функций ф(7) на отрезке тг^^^гь удовлетворяющих краевым условиям ф(тг) = хг-. Отметим, что в (53) входит само свободное действие S0(ф), а не^ его квадратичная форма s0'= ф/(ф/2.
Сделаем в (53) замену переменной ф-мр + Д где f — та же самая линейная функция, что и в (51). Новая переменная ф будет тогда удовлетворять нулевым условиям на концах, откуда, в частности, следует, что перекрестные члены формы
(ф + /)2 не дают вклада в действие. Поэтому интеграл (53) можно переписать в виде
ехр / [S0(Z)+ А/} |(го)Я<рехр/[5в(<р)+срЛ]. (54)
Нулевые условия для ф на концах приводят также к обращению в нуль внеинтегральных членов при интегрировании по частям в форме S0 (ф), чт0 позволяет записать ее в виде ф/Сф/2. Поэтому гауссов интеграл в (54) можно взять с помощью
110
сдвига ф-мр-М'ДЛ, не выводящего из класса вещественных функций с нулевыми условиями на концах. После сдвига из интеграла (54) выделится множитель ехр'[—ЛДЛ/2], а оставшийся интеграл / = /1)фехр/50(ф) уже не зависит от Л. Сравнив
(00)
получающееся из (54) выражение с (51) и приняв во внимание,, что S0(I) совпадает, как нетрудно проверить, с показателем экспоненты в (48), заключаем, что, величины (54) и (51) пропорциональны:
І(ХЬ X1; X2, х2; ^) = COnSt J Do exp і [S0 (<р) + <рЛ ]. (55)
(x1x2)
Нормировочная постоянная численно равна отношению пред-экспоненциального множителя в (48) к определенному выше гауссову интегралу / и зависит лишь от т и %\—то.
Чтобы найти амплитуду перехода для теории с произвольным взаимодействием (ф), мы должны согласно (1.90) подействовать на правую часть (55) операцией exp іSv(o/oiA) и затем положить А = 0. Получим
^(X1, X1; х2, T2) = const j* ?><р expiS(<p), (56)
где 5(ф) = 50(ф) +5и(ф)—полный функционал действия для интервала [ті, T2]. Возможно стоит пояснить, что область интегрирования по t в функционале Sv((p) оказывается конечной потому, что такова она в линейной форме фЛ, на которую действует операция Sv(o/oiA).
Как уже неоднократно отмечалось, для теории с производными по времени во взаимодействии роль (ф) играет эффективное взаимодействие, определенное в п. 1.3.4 и явно зависящее от выбора способа квантования классической теории. Отметим, что при определении функционального интеграла посредством процедуры интерполяции функционал S в (56) всегда считается классическим, а различие квантовых амплитуд (56) для разных способов квантования достигается путем использования различных вариантов интерполяции. Это проверено {14, 15] для нескольких простых рецептов квантования, но общего правила, позволяющего каждому данному выбору квантового оператора взаимодействия V сопоставить определенный способ интерполяции подобно тому, как мы сопоставляем ему функционал БІФ (ф), не существует.
Обобщение квантовомеханической формулы (56) на бозон-ные теории поля будет непосредственным в „координатном
А
представлении", в котором диагоналей оператор поля ф(х) в шредингеровском представлении: аргументы х в (56) заменя-
111
Ol
ются ,,конфигурациями" а(х), которые нумеруют собственны
состояния оператора ф(х) подобно тому, как х нумерует собственные состояния оператора координаты в квантовой механике. В этом представлении роль волновых функций (х) играют функционалы F(а), скалярное произведение которых определе-
но интегралом JDaF1*(a)F2(а); операторы координаты ср(х)
и импульса р(х) в шредингеровском представлении реализуются как операции умножения на а(х) и дифференцирования по /а(х) соответственно.
В заключение обратим внимание на два существенных различия между формулами (56) и (1.164). Во-первых, в (56) входит настоящее свободное действие S0 (ф), а не соответствующая ему квадратичная форма, как в (1.164). Во-вторых, и это более важно, пространство функций, по которому производится интегрирование в (56), не зависит в отличие от (1.164) от способа разбиения полного действия на свободную часть и взаимодействие. Эта выгодная особенность представления (56) позволяет рассматривать его как действительно точное соотношение, не опирающееся даже в скрытой форме на теорию возмущений, чего нельзя сказать про (1.164).
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed