Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
7 Зак 102
97
замена меняет пространство интегрирования: зная асимптотики h+(t) = — tAlm, h„(t) = —tAjm, находим <?'^ (t) = ах + tA/m,
<?'_(t) = a2 — tA /и (при k2 — kx-f- A = O). Нетрудно проверить
(учитывая все внеинтегральные члены и равенства к2 — к,+A=O, U1-J-а2 = 0), что функционал FA(<?) после замены принимает
г ———
вид So(<f') -\-iv-itA—АДА 2. Два последних члена выносятся за знак интеграла и дают экспоненту в правой части (16), оставшийся интеграл не зависит ни от А, ни от импульсов ki, 2 и определяет нормировочную постоянную с в (18):
2с(2к)* ] D? о Ia1+ а2] exp ISq (?)=!,
(00)
где (00) есть пространство (k,k2) при к{ = R2 = 0.
Итак, представление (18) доказано. Оно удобно тем, что пространство интегрирования задается параметрами, нумерующими квантовые асимптотические состояния, и инвариантно по отношению к временным трансляциям ?(<)"** ?х (0 = ? (^ + т)-Это позволяет при необходимости легко выделить из (18) все нужные о-функции. Первый член ряда теории возмущений для exp IF ((f) = exp і [F0 (у)-j- Sv(у)] порождает в правой части (18) слагаемое ^k1 — к2), вклады остальных членов содержат лишь энергетическую 8-функцию. Как уже говорилось, последняя связана с временными трансляциями, при которых а* ai + V/T и F(сртj = F('f) -j- к(F2 — F1) вследствие инвариантности действия. Выбрав, например, связь Ф (^) = V1U1 (скалярное произведение векторов), вводим под знак интеграла единицу j dxo [Ф (ср_ =z J dzo (V1Ia1 — tvj). Сделав сдвиг о —> -> cpTj можно взять интеграл по т, который даст искомую
3-функцию, и получить интегральное представление непосредственно для амплитуды рассеяния (vj = v^):
T(kuk2)=icv\ J Dy Ъ (V1H1) [exp iF(<f)~ exp 1F0 (<?)]. (19)
Предварительное выделение б-функции необходимо, например, при вычислении амплитуды методом стационарной фазы (квазиклассическое приближение), так как наличие законов сохранения, выражающихся б-функциями, автоматически влечет вырождение -ядра квадратичной формы второй вариации действия в окрестности' классической траектории. Вырождение приводит к необратимости ядра и препятствует построению стандартной теории возмущений по степеням h (разложение по числу петель). Аналогичные трудности встречаются в теории калибровочных полей (гл. III), откуда мы и заимствовали способ их преодоления посредством введения связи (см. формулу (III.6)). Связь снимает вырождение ядра и позволяет корректно
98
определить соответствующий пропагатор (обратное ядро) и детерминант, т. е. предэкспо'ненту в квазиклассическом приближении.
§ 2. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Нерелятивистская теория поля есть квантовая механика систем с произвольным числом тождественных частиц в формализме вторичного квантования. В классической теории такие системы описываются комплексным полем г|), \f>+, которое является обычной или антикоммутирующей функцией в зависимости от статистики частиц, получающейся при квантовании. Последнее осуществляется с помощью обычных канонических перестановочных соотношений, а в фермионном случае — антиперестановочных соотношений.
Функционал действия свободной теории имеет следующий вид:
S0 (г> Ф)= \dxr(x)
д -6
at
ф(*) = ТО, (20)
где X = (t, х), <§ — заданный одночастичный гамильтониан — линейный оператор, действующий только на аргумент х и имеющий смысл обычного квантовомеханического гамильтониана
для одной частицы рассматриваемой системы: <g = p2/2m + +?^(х) — (і. Первое слагаемое есть кинетическая энергия частицы, второе — потенциал внешнего поля (например, потенциал решетки для электронов в твердом теле), вводимая для удобства в качестве произвольного параметра постоянная \х называется химическим*потенциалом. Для бесспиновых частиц аргумент x есть вектор пространства, на котором рассматривается поле, для частиц со спином х включает и спиновый значок в соответствии с соглашениями п. I. 1.1.
Из (20) видно, что величина frl>+ является импульсом, канонически сопряженным с координатой т. е. в данном случае единое поле ср = (^, ^+) представляет не обобщенные координаты, а все фазовое пространство — координаты и импульсы. Канонические перестановочные соотношения для оператороз в
шредингеровском представлении принимают вид <]>(х) i+(х') — — хф+(х')ф(х) = 3(х — X ), где, как обычно, %=± \ в зависимости от статистики. Если разложить классическое поле 0 (х) по полной ортопормированной системе Ф\ (х) собственных функций оператора <§, то для коэффициентов разложения
0 (х) = ^ аЛ}а (х), ф+(х) = ^а<2^Ф*(х) получим при квантовании стандартные перестановочные соотношения операторов рождения — уничтожения: aatf? — ш^аа— a+af — %а?а+= 0, aaaf — *а?аа = Ь0$. Реализация ач, а+ операторами в фоков-
T
99
ском пространстве общеизвестна, и мы не будем на ней останавливаться.
Соответствующий действию (20) гамильтониан имеет вид
H0=JVx Ф+(х)А'Мх) = 2аЄааа+аа, (21)
где са — собственные значения S на Фа: ?Фа=?аФа. Для дискретного уровня а оператор числа частиц ataa в состоянии а имеет лишь два собственных значения 0 и 1 в случае ферми-онного поля, а в случае бозонного поля его собственным значением может быть любое целое неотрицательное число. Для сплошного спектра а+аа имеет смысл оператора плотности
