Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Васильев А.Н. -> "Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике" -> 38

Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.

Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике — Ленинград, 1976. — 295 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcionalmetodi1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 121 >> Следующая

л
expipc— операция сдвига на с, получаем
<kt IN ехр / ср A J k2> = S (kt — к2 —- А) ехр (ik{t AJm)1 (11)
<х1]Лгехр/<рА| х2> = о(хх —-X2 + IA Im) ехр (ix ^A). (12)
Эти формулы заменяют соотношение (1.87), которое для рассматриваемого нами vV-произведения не выполняется (как и (1.134)).
При вычислении матричных элементов S-матрицы для рассеяния на потенциале W последний удобно записать в виде
интеграла Фурье: %У (^) = JdX V"(X) ехр / Iq. Подставив в (1.64)
функционал взаимодействия Sv (ср) = —Jj dt dlV" (X) ехр/ Хср(/)г
приходим к следующему представлению для функционала S-матрицы в TV-форме:
R (?) = ехР (4г • -ц- A ¦^A ехр iSv (ср) =
со
S {~^~ J •" J1?(^dhdtd ехр [ ~ т- 2 у* и
/1=0 b s
(із>
Для вычисления матричного элемента оператора S-матрицы
и=Л7?(ср) в импульсном представлении нужно пользоваться соотношением (11):
95
oo
Kk11UI k2> = 2 Чг\- • ¦ J П № M dW) >
n=0 1
X Q
R1-K2 -T?x\ X
X exp
- (1/2) 2W(4, + /(кі/от) 2 V*
(14)
Взяв интегралы no t\ .. . tn, мы придем к обычным резольвентным формулам теории возмущений.
Хотя, как уже говорилось, функции Грина для рассматриваемой теории не имеют смысла, формально можно вычислить их производящий функционал (1.86). Для свободной теории с помощью (11) получаем
G(0) (А) = <0| Гёхр /<рАА|0> = 8 (А)ехрГ 1
(15)
где |0> —состояние |к> с к = 0. Для теории со взаимодействием нужно воспользоваться соотношением (1.90). Явная неаналитичность функционала (15) по аргументу А свидетельствует о невозможности корректного определения функций Грина.
В заключение выведем простую формулу, связывающую функционал S-матрицы на поверхности масс с матричными элементами оператора S-матрицы в импульсном представлении. Прежде всего вычислим с помощью (11) матричный элемент того же, что ив (15), оператора между состояниями с произвольными импульсами:
<к{ J Гехр AI к>> = Ь (Ic1 — к2 — J) ехр [—АДА/2 + Zv1 Щ (16)
(здесь и далее V = к tri). Представив б-функцию в (16) числовым интегралом Фурье, а множитель ехр[—АДА/2] — функциональным гауссовым интегралом (1.162), приведем правую часть (16) к виду
с (2ъ)-« J da jAZ)cp exp / [So (?) + а (к, - к2) + А (<р +/)], (17)
где d — размерность к, So (?) = <р/С?/2— квадратичная форма свободного действия и /(O = V1^ — а — функция, принадлежащая поверхности масс (у нас ?/С? — ~m J <A??, а поверхность масс есть множество всех линейных функций). Согласно (1.90), для перехода к матричному элементу S-матрицы U =
= TexpiSv (?) нужно подействовать на (17) операцией exp iSv (Ь/ЫА) и затем положить А = 0. Этот прием оправдан, видимо, лишь для тех потенциалов, у которых классические траектории выходят (и достаточно быстро) на свободные асимп-
96
тотики, что и будет предполагаться ниже (тем самым куло-новский потенциал исключается). После перехода к S-матрице форма Л(<р + /) в (17) заменяется на •S^ (ср +/), интеграл по ср собирается в производящий функционал S-матрицы (1.168) и в
итоге получаем: <kj | U | к2> = (2тс)_оГ J daR(f) ехр і a. (U1 — к2).
Если взаимодействие Sv (ср) не зависит явно от времени, то из матричного элемента должна выделяться энергетическая 8-функция: <k, I U I к,> = 8 (Ic1 — к,) — 12кЪ (E1 — E2) T (кь к2), где E = к2,2т, T(K1 к2) — амплитуда рассеяния. Полученное выше представление матричного элемента неудобно для выделения o-функции, так как последняя связана с временными трансляциями, а функциональное пространство, по которому производится интегрирование в (17), не инвариантно по отношению к таким трансляциям (см. § 5).
Более удобно другое представление, полученное А. В. Кузь-менко и автором (см. также [87]):
<k, I U I к2> = с \ Dcp ехр IF(ср). (18)
Пространство интегрирования (^k2) состоит из функций с асимптотиками ср+ (t) = \xt + аь ср_(t) =\2t + а2 (скорости v—k/m
фиксированы, параметры а, про ізвольньї), a F(cp) =So(«p) + + ^(ср) + (к2а2 — к1а1)/2. Дія достаточно хорошо убывающих потенциалов функционал F(cp) конечен на функциях из пространства (ktk2) и стационарен на классической траектории с заданными ki, 2 по отношению ко всем вариациям с Sk1 = = Ok2 = 0 (внеинтегральные члены вариации действия сокращаются вариацией добавки k2a2 — ^a1). Нормировочная константа с в (18) будет определена ниже.
Для вывода представления (18) достаточно показать, что
его правая часть для функционала F4(Cp) = S'0 (ср) + срА +
+ (k2a2 — kt&i)'2 созпадает с правой частью (16). Прежде всего, выделим из интеграла (18) содержащуюся в (16) 8-функцию. Для этого рассмотрим группу трансляций ср (t)-> сра (t) =ср (?) + а,
при которых, как легко проверить, F^(cpa) = FA(cp)+a [k2—-Ir1 тА]у а пространство (к,к2) переходит в себя. Выберем связь Ф (ср) = = а! + а2 и введем под знак интеграла (18) выражение 2 j d'a о [Ф,ср а)] —2 J da 3 [ах + а2 — 2а] = 1. Сделав затем сдвиг
ср -> сра переменной интегрирования, мы сможем взять явно интеграл по а, который даст искомую 8-функцию, и получим
2(2^8 [к2— кх + Л ]с j D98 Ja1+ а2] ехр iFA{<?).
Оставшийся интеграл берется с помощью замены ? (t) = = <t'(t) + h(t) + V1* +7A 2, где A = /АА, А — свертка (9). Эта
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed