Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Васильев А.Н. -> "Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике" -> 40

Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.

Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике — Ленинград, 1976. — 295 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcionalmetodi1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 121 >> Следующая

числа частиц в состоянии а.
Если поле бозонное, то всегда предполагается неотрицательность всех одночастичных энергий єа. В противном случае гамильтониан (21) будет существенно неограниченным снизу, что физически соответствует неустойчивости системы относительно конденсации бесконечно большого числа частиц на уровнях с отрицательными энергиями. Если нет дискретных уровней с є = 0, то основным состоянием H0 для бозонного поля будет фоковский вакуум |0а>, для которого аа|0а>=0. Если же дискретные уровни сє = 0 имеются, то основное состояние H0 бесконечнократно вырождено.
В фермионном случае система устойчива и при наличии уровней с отрицательными єа. Если нет дискретных уровней с е = 0, то основным состоянием H0 будет то, в котором все уровни с отрицательными энергиями заполнены, а все уровни с положительными энергиями свободны. Если есть дискретные уровни с е = 0, то основное состояние H0 вырождено с кратностью 2п, где п — число состояний с нулевыми є.
В - представлении взаимодействия a?(t) = a<rexp(± ieat),
где а7 = аа, a операторы свободного поля принимают вид
= ^а а*Фа (х) ехР (~ *?<А <j> (х)= У аІФІ (X) ехр UJ9 (22)
ГДЄ A' eee tf X.
Для ферми-частиц часто делается каноническое преобразование ,,частица — дырка", при котором множество всех уровней
а разбивается на две группы 1, 2 и вводятся операторы Ьа, bt [21]:
ЬгХ = a*, bt — at для а?1; ba=at, bt = aa для а ? 2. (23)
Обычно разбиение осуществляется в соответствии со знаком энергии: a G 1, если єа >-0, и а ?2, если єа<0. Но это не обязательно: преобразование (23) ^является каноническим (только для фермионов) при любом разбиении на множества 1 и 2.
100
л
Разложение (22) для і|з можно переписать следующим образом: V $ (X) = 2 hi («) b« -Ь (а) Фа (X) ехр (- iz J), (24)
а
где X1 2 — характеристические функции множеств 1, 2 соответственно: X1(Oi) = I, если а?1, и /д (а) = 0, если а ? 2, и аналогично ДЛЯ Х2-
Нормальное произведение операторов свободного поля опре-
деляется по общим правилам п. I. 1.4, причем роль a(t) и b(t) играют вклады всех операторов уничтожения и рождения соответственно. Для фермионов возможны разные АЧіроизведе-ния; Na и Nb. Мы будем приводить формулы для более общего Л^-произведения, считая разбиение на множества 1 и 2 произвольным. В частном случае уУа-произведения множество-2 пусто.
Считая, как обычно, О и соответственно первой и второй компонентами ^единого поля ср = (ф, ф+), для матрицы простых сверток (1.16) получаем п\х = /г*2 = 0 и
пьи (х, л') = і (X)ф+ (je') - Nb [ 5 (X) $+ (л')] =
= 2 (°0 ф« (х) ф* («О ехР fe« С — 0> (25)
а
(х, х')=Г (х)\(х') -Nb[y (X) \(х')] =
= 2 (а) Ф* W Ф« (Х') ехР /s« С - *').
а для хронологических согласно (1.29) находим Af1 = Af2 = O и Д?2 (х, л') = 2 [Zi««' + ф* (X) (X') ехр Js3 (Ґ - 0,
а
До*, (X, х') =2 [X3O«' + *Zfift\ Фа (X) Фа (X') ехр *8« (* - /'). (26)
а
Для сокращения записи опущен аргумент а у X1 2 и обозначено 6 (?— tr) = btt'. Симметричность матрицы Д выражается
равенством А21 = хДі2.
В энергетическом представлении
а?2 (х, X')=^ j ^ ^ [т^но- - i^tto;
а
X Фа (X) Фа (X') ехр IE {V -t),
%Ъ Xi
A*i (jc, JC') ="|rj^ Yj
? + ee + /0 ? + еа - Ю
X
а
X Ф«(х)Ф«(х') ехр/?(*' — *). (27)
101
В (27) можно положить * — —- 1, поскольку х входит только в комбинации %%2, а %2 может быть отличным от нуля лишь для фермнонного поля. Положив в (27) х = — 1, видим, что способ разбиения на множества 1 и 2 отражается только в знаках добавок ±Ю в*энергетических знаменателях.
Соотношение (1.31) принимает теперь матричную форму (1.109), роль К в (1.109) играет в нашем случае ядро свобод-
ного действия (20), т. е. K — iodt — g. Согласно (1.109 A12=ZZC"1; в фермионном случае разным вариантам разбиения на множества 1 и 2, приводящим к разным Af2, соответствует разный выбор функции Грина Z<_1.
Свертки А имеют разрыв при t = t' и доопределяются обычным правилом (1.30) в матричной форме.
Рассматриваемое нормальное произведение обладает свойство?! (1.134), а равенство (1.87) для Л/ь-произведения справедливо для состояния \0b> U2Oa+IOa>, в котором все уровни группы 2 заполнены, а уровни группы 1 свободны: Ьа\0Ь>=0 для любого а. Для /^-произведения равенство (1.87) справедливо для фоковского вакуума |0а>.
Ниже мы несколько детализируем это общее рассмотрение.
1. Квантовый бозе- или ферми-газ. В этом случае в одно-частичном гамильтониане отсутствует слагаемое с потенциалом:
g ~ р- 2т — \i. Собственные функции S — плоские волны — нумеруются импульсом р и спиновым значком 5, если частицы
имеют спин: Ф„ (х) = (2тс)~ ~esexpipx, где d — размерность пространств, es — полная ортонормированная система спиновых состояний. Для бозонного поля условие положительности є(р) = = р2 2т — \ь требует [а<0, для фермионного поля допустим любой знак [х. При {л > 0 основным состоянием H0 является то, в котором все уровни с р2,2т<і^ заполнены, а уровни с р2/2т > [і свободны, т. е. \і имеет смысл энергии Ферми.
Если разбиение на множества 1 и 2 производится в соответствии со знаком е(р), то свертка Д?2 в (27) принимает следующий вид:
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed