Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Васильев А.Н. -> "Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике" -> 42

Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.

Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике — Ленинград, 1976. — 295 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcionalmetodi1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 121 >> Следующая

Нормальное произведение полей (31)-определяется обычным разбиением на операторы рождения и уничтожения и обладает свойствами (1.87), (1.134). Соответствующие свертки определя-
104
ются общими правилами (1.13) и (1.29). Мы приведем лишь хронологическую:
4 ехр і[E(Г -t)-k(x' - X)] A (X9 X') = і (2r.)~d-1 J J dEdk-Ri 62 + /0-• (32)
Электрон-фононное взаимодействие является частным случаем взаимодействия Юкавы, диаграммная техника которого рассматривалась в п. 1.4.6.
; § 3. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Квантование релятивистски-ковариантных полей подробно излагается в [1], так что мы ограничимся лишь перечислением соответствующих свободных систем с указанием функционала действия и сверток. Нормальное произведение для всех релятивистских полей определяется обычным образом через операторы рождения — уничтожения и обладает свойствами (1.87), (1.134), причем состояние |0> в (1.87) всегда является фоков-ским вакуумом и одновременно основным состоянием свободного гамильтониана. Явный вид разложений полей по операторам рождения — уничтожения нам не ,понадобится и мы приводить их не будем.
В этом параграфе используются обычные для релятивистских теорий обозначения: х = \ха, а = О, 1, 2, 3}, х°еееі9 {х1, і=\, 2, 3}=х. По повторяющемуся греческому индексу подразумевается суммирование от 0 до 3, по повторяющемуся латинскому индексу — от 1 до 3. Метрический тензор ga4 = g«?
определен равенствами gn = g22 = g^ = — gQ0 = — 1, g^ = 0
при а ф Р; тензор gaXgx^ = gl есть символ Кронекера. Кова-
риантный вектор Ва строится из контраваризнтного вектора
В* по правилу Ва= g 3В'*; инвариантное скалярное произзеде-
ние хауа = ga^xCLy? = х°у° — ху обозначается хук Наконец,
дл = ддха и ^ dx ... = j dx°dx[dx2dx^ ... , интегрирование по
каждой ха производится от — со ДО со.
Простейшей релятивистски-инвариантной системой является вещественное скалярное поле <р (х), для которого
S0 (?) = 4" J dx [да ср (X) да<? (X) - ту (х)1 (33)
а ядром соответствующей квадратичной формы (1.4) является
оператор Клейна — Гордона К — — дЖ— гп2 = — ? — т2. Свертки поля имеют вид
п(je, X') = (2т:)"3 j dp 6 (pQ) 5 (р2 — т2) ехр ip (x' — xl (34) А(*, x') = і (2тс)"4 j dp p2 _ + ю ехр і p(xf — x), (35)
105
где/?2=/?5 — р2 в соответствии с договоренностью. Свертки
. явно трансляционно-инвариантны, т. е. зависят лишь от разности и=х—х'. В отличие от квантовой механики и нерелятивистской теории выражения (34), (35) не обычные, а обобщенные функции, имеющие сингулярности на поверхности у2 = 0 (на световом конусе). Наиболее сильная сингулярность находится в точке у = 0.
Полезны следующие представления сверток:
А(х, x') = d(y*) + if(y*), п(х, x')=d(yi) + is(y0)f(y% (36)
где у = X—х'\ d и f — вещественные обобщенные функции переменной у2; е(уо)=в(уо)—0(—у о)—знаковая функция. Функция / отлична от нуля лишь внутри световых конусов, т. е. в области у2 ^ 0. Представление (36) для п является формальным, поскольку f сингулярна на поверхности у2 = 0, имеющей •общую точку у = 0 с плоскостью уо = 0, где є терпит скачок. Вполне корректными представления (36) становятся лишь после регуляризации, о которой будет сказано ниже.
Для комплексного скалярного поля ср, ср+ свободное действие S0(cp, ср+) пишется в виде ^dx[day+(x)daw (х)—/я2?+(х)?(х)].
Свертки ср с ср+, равно как и ср+ с ср, совпадают со свертками {34), (35) вещественного поля.
Для вещественного векторного поля в1 (а)
S0 {B) = - 4" J dx lF°? і*)F* (*) + 2A И в% Wl > (37)
Q
где fa?, (X)-O01B, (х)—д$Ва (х), а форма (1.4) имеет вид В*К<$В /2 с ядром
/C«? = (n+m2)ffeo—(38)
Соответствующие уравнения движения эквивалентны системе
(?+ //г2) ZT = O, т2даВ* = 0. Из последнего уравнений видно, что для массивного поля всякое решение является четырехмерно-поперечным: Or1B^ = 0.
Свертки поля В* (х) имеют вид
п*Цх, х')=@?п(х, л*'), Iа'(X1 xr)=?)f А(х, X'), (39)
где п и А — свертки (34), (35), a — дифференциальный оператор:
®<f = т-2 д*д\ (40)
Отметим, что общее соотношение (1.31) в данном случае
имеет ковариантную форму: KaK^ = igt. Оно не допускает перехода к случаю безмассового поля, так как операция /(ар становится тогда существенно вырожденной: при т = 0 имеем Aa?d»\ = 0 для любой функции ф(х). Безмассовое векторное поле рассматривается в следующей главе.
106
Скалярное и векторное поля являются бозонными и описывают (после квантования) частицы со спином 0 и 1 соответственно. Частицы со спином V2 описываются фермионным дира-ковским полем, т. е. четырехкомпонентным комплексным спи-
норным полем г|) = г|) = -ф+у0 = $2 (у0— одна из матриц Дирака уа> действующих на спиновые индексы поля). Свободное действие имеет вид
S0(Фь № = §ахЬ{х)\іґд*—гп]'Ьх(х), (41)
а отличные от нуля элементы матриц сверток единого поля (t|5b If)2) = (ф, г|)) определяются соотношениями
п12(х, х')=3)хп(х, xf), Hn(X1 х')= — ФХ'П(х% xf), (42) Ai2(^, х') = S)Jb[X, xf), A21(X, х') = — ®х>Ь(х, xf),
в которых п и А — свертки (34), (35), и 2Dx===iyad/dxa + т.
В заключение сделаем замечание относительно регуляризации. Как уже говорилось, определенные выше свертки лолей являются не обычными, а обобщенными функциями. Произведение обобщенных функций с накладывающимися сингулярно-стями не имеет смысла даже как обобщенная функция, и по этой причине вклады диаграмм теории возмущений, содержащие многократные произведения пропагаторов А, в релятивистских теориях часто оказываются бессмысленными. В импульсном представлении это проявляется в форме хорошо известных „ультрафиолетовых" расходимостей интегралов в области больших импульсов.
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed