Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Васильев А.Н. -> "Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике" -> 43

Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.

Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике — Ленинград, 1976. — 295 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcionalmetodi1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 121 >> Следующая

Регуляризацией называют любую процедуру, придающую строгий смысл вкладу каждой из диаграмм теории возмущений. Типичным примером является регуляризация Паули — Виллар-са (1], состоящая в замене п и А во всех формулах этого параграфа регуляризованными свертками гсрег, Арег. Последние определяются соотношениями
-2Jl1C,",, APer = A+2^/A, . (43)
^ per — ^
в которых П{, Ai — обычные свертки (34), (35) с заменой ra-WWi; Mi... Mn — произвольные параметры, а численные коэффициенты Ci в (43) определяются следующей системой уравнений:
т2*+ Y^c1Mf = O9 Aj = O, 1, ... , N—\. (44)
В импульсном представлении
1 ^V' C1
Арег — і
(45)
а условия (44) означают, что после приведения суммы (45) к общему знаменателю коэффициенты при всех степенях р2, кро-
107
ме нулевой, в числителе обращаются в нуль. Поэтому Дрег(р2) убывает на бесконечности достаточно быстро и ее фурье-образ Арег = dper + //per (см. (36)) будет уже не обобщенной, а обычной функцией, имеющей некоторое, зависящее от N, число гладких производных. Из (36) и (43) ясно, что свертка дрег связана с Арег тем же соотношением (36), которое теперь вполне корректно, поскольку функция /рег, обращающаяся в нуль вне световых конусов, вследствие своей гладкости на самой поверхности конусов должна иметь нуль конечного порядка. Отсюда, в частности, следует, что для регуляризованных сверток соотношение (1.30) выполняется автоматически. Отметим также, что приведенное в п. 1.5.2 доказательство унитарности S-матрицы в порядках теории возмущений для регуляризованной теории будет справедливым независимо от наличия производных поля по времени в эрмитовом функционале взаимодействия.
Переход к регуляризованной теории в формулах типа (1.164)
Осуществляется С ПОМОЩЬЮ Замены /С-^/Срег, ГДЄ /(per = ^ AJ^r
в соответствии с (1.31).
§ 4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АМПЛИТУДЫ
ПЕРЕХОДА
Для обычной квантовой механики с гамильтонианом H величина
имеет смысл амплитуды перехода в координатном представлении для конечного интервала времени T2^ t а 0(ті—T2)X X^(X1, ті; х2, T2) есть запаздывающая функция Грина нестационарного уравнения Шредингера (ядро операции i[id/dt—H]"1, доопределенной условием запаздывания) в том же представлении.
Исторически именно амплитуды (46) были первыми объектами, для которых Р. Фейнман получил представления функциональными интегралами [24]. Оригинальный вывод Фейнмана опирается на определение функционального интеграла посредством известной процедуры интерполяции (см. [14, 15]), которым мы договорились не пользоваться ввиду его неоднозначности. Поэтому будем выводить формулу Фейнмана, пользуясь лишь сформулированными в п. 1.6.1 правилами вычисления гауссовых интегралов.
В качестве H0 возьмем, как в п. 1.2, только кинетический
член р2/2т. Представив exp і H0T гауссовым интегралом
J^(X1, T1; X2, T2) = KX1 I exp IH (т., — T1) I х2>
(46)
exp /Н0т =z exp і
L
. p2z / im
2m
Л exp —
irrik2
+ ipl , (47)
108
в котором d — размерность р, и приняв во внимание, что опера-
А
ция сдвига expipk переводит і|х> в |х—?w>, для свободной теории получим
(ХЬ х1» Х2, "2)
т
2тл (T1 — T2)
d,2
exp
im (Xi — Xo)2
2(Ti-T2)
(48)
Для теории с взаимодействием входящий в (46) оператор развития в шредингеровском представлении можно выразить с помощью (1.55) через оператор развития в представлении взаимодействия, который представляется Г-экспонентой (1.64). Собираясь воспользоваться впоследствии соотношением (1.90), вычислим функционал
?ф(хъ T1; X2, т0; .A)-^X1 |ехр (—/H0T1) Гехр (/ср Л)exp (Ш0т2)|х,>,
(49)
имеющий смысл амплитуды перехода для свободной частицы
в поле произвольной внешней силы A(t). Свободное поле ф в (49) обозначает оператор координаты в представлении взаимодействия (7), а интегрирование по времени в линейной форме
л
<рЛ производится, как и всюду в дальнейшем, только по конечному интервалу от т2 ДО Ti.
Для вычисления амплитуды (49) нужно привести Г-экспо-ненту к JV-форме по правилу (1.46), а результат действия операции ехр(іНот) на |х> следует представить гауссовым интегралом с помощью (47); матричный элемент JV-экспоненты можно затем найти по формуле (12). Опуская элементарные выкладки,* приведем результат: амплитуда (49) отличается от (48) заменой показателя экспоненты в (48) выражением
im T2
2T1(T1 -т2)
X2 +
tA
m
+ Ix2A
z1A m
-г 1
+
im
2T1
лдл,
Xi X2 -f~
tA
m
(50)
в котором А обозначает свертку (9) и A = fdtA(t), tA = jdtiA (t), причем как здесь, так и в форме ЛДЛ, интегрирования по времени проводятся лишь по заданному конечному интервалу.
Собрав вместе квадратичные и линейные по Л вклады в (50), полученный результат можно записать следующим образом:
«5^(X1, T1; X2, т2; Л) = (хь X1; X2, т2) ехр
1
— -4г А&А + IA/
(51)
* ВыЧИСЛеНИЯ ЗаМеТПО упрОСТЯТСЯ, еСЛИ ПОЛОЖИТЬ Ti = Т, Т2 = 0, что по
существу- не ограничивает общности.
109
Здесь f—линейная функция: f (t) = X2 -f- v (/ — т2), V =
= (X1—X2)Z(T1-X2) и
A(t, t') = A(t, O + ^h^ + O —(X1 -т2). (52)
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed