Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Васильев А.Н. -> "Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике" -> 37

Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.

Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике — Ленинград, 1976. — 295 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcionalmetodi1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 121 >> Следующая

ский член mq2/2, удобен для задачи рассеяния.
92
Эти два случая мы рассмотрим раздельно. 1. Осциллятор. Классическое свободное действие для осциллятора с частотой со имеет вид
S0(q) = (rnl2)$dt{q*-**q*), (1)
а ядром соответствующей квадратичной формы (1.4) служит операция K= — тп Id2 dt2 + w2). Действию (1) сопоставляется
квантовый гамильтониан H0 = p2/2m -f- moo2 #2/2 = со (а+а-f- 1/2),
где q п р — операторы координаты и импульса в шрединге-ровском представлении, а+ и а~а~ — операторы рождения и уничтожения в том же представлении:
a± = (qV~urnT ірIV^n)іV^r (2)
удовлетворяющие каноническому коммутационному соотношению [а, а+] = 1.
Основным состоянием H0 является „вакуум" [0>, определенный соотношением а10> = 0; возбужденные („я-частичные")
состояния \п> = (п\)~12(а+)п 0> в одномерной теории невырождены и имеют энергии со (п-\- 1/2). Играющий роль свободного
поля v(t) = q (t) оператор координаты в представлении взаимодействия имеет вид
y(t) = еШо^е~Шо' = (ае-^ + а^еш)іУ2^т. (3)
Нормальное произведение полей определяется обычными правії-
А
лами п. I. 1.4, роль операторов a(t) и b(t) в разложении поля играют соответственно первое и второе слагаемые в правой части (3) (т. е. а4" — налево, а—направо). Определенные соотношениями (1.13), (1.29) простая и хронологическая свертки имеют следующий вид:
n{t, tf)={2^m)^expm{tf — t), (4)
А (*, t') = (2(OW)-1 [o (t — ?) exp ш (tf — t) + b(tf — t) exp № (t — tr)\.
(5)
Свертка А непрерывна при t = tr, так что соотношение (1.30) удовлетворяется автоматически. В энергетическом представлении
W)=^dE Х?ІГю' (6)
откуда видно, что свертка А действительно является функцией Грина для приведенной выше операции К в соответствии с общим правилом (L31). Отметим также, что введенное нормальное произведение обладает свойствами (1.87) и (1.134).
Производящие функционалы S-матрицы и функций Грина для ангармонического осциллятора определяются обычными со-
93
отношениями п. 1.3.5. Понятно, что для задачи с чисто дискретным спектром, который сдвигается при включении взаимодействия, оператор S-матрицы в строгом смысле слова не существует. В действительности нас интересуют сдвиги энергии уровней и точные волновые функции. Их можно находить с помощью асимптотических формул нестационарной теории возмущений для дискретного уровня (см. Приложение 1), используя представление (1.64) для оператора развития. В частности, сдвиг энергии основного состояния выражается согласно (1.74) через логарифм вакуумного ожидания S-матрицы, который в диаграммной теории возмущений представляется в виде суммы всех связных вакуумных петель.
Отметим, что функции Грина поля в отличие от S-матрицы хорошо определены и с их помощью также можно находить точные энергии и точные волновые функции (первые — по положениям полюсов в спектральных представлениях, вторые — по вычетам в этих полюсах).
2. Свободная частица. В этом случае H0 = р2/2т, а свободное поле — оператор координаты в представлении взаимодействия— имеет вид
^{t) = emotqe^=q+ptlm. (7)
Обычная полевая техника операторов рождения — уничтожения здесь непригодна и мы должны дать какое-либо цное определение нормального произведения. Это можно сделать по общим
Л Л
правилам п. 1.1.4, взяв в качестве а и Ъ в разложении q(t) =
= a(t) + b(t) первое и второе слагаемые в правой части (7) соответственно (т. е. импульсы — налево, координаты—направо). Это разбиение удовлетворяет, очевидно, всем нужным требованиям п. 1.1.4, но принятый выбор, разумеется, не является единственно возможным.
По формулам (1.13), (1.29) находим свертки для данного АЛпроизведения:
n(t, V)=[a{t), b(t')\=imrH\ (8)
А V) = Im"1 [VB (t — V) -f tb (V — t)\. (9)
Они не являются, в отличие от (4), (5) функциями разноств
А
/—Ґ, потому что выбранные нами операторы а и Ъ смешиваются при развитии во времени.
Свертка А непрерывна при t = V и поэтому удовлетворяет автоматически условию (1.30). Операция К в свободном уравнении движения (1.2) имеет в нашем случае вид ~md2/dt2, и общее соотношение (1.31), как легко проверить, выполняется: ЛГА = /.
Обозначим |х> и |к> нормированные на 6-функцию собственные состояния операторов координаты и импульса с соб~
94
ственными значениями х и к соответственно. Основным состоянием H0 является плоская волна |к> с к = 0; это состояние принадлежит сплошному, а не дискретному спектру, так что обычные определения функций Грина теряют смысл и эти объекты не следует рассматривать. Но это не мешает нам пользоваться техникой теоремы Вика для приведения различных операторов к ЛЛформе и вычисления матричных элементов; в частности, оператор S-матрицы в N-форме определяется по общей формуле (1.64).
При вычислении матричных элементов,удобнее иметь дела не с самим оператором поля y(t) = q{t), а с экспонентой
Л Л Л
ехр/ср А = ехр/і dty(t) A (t). Из определения jV-произведения получаем
TV ехр/ср А = ехр (iptAjm)exp(iqA), (10)
где Az= ^ dt A (t) и tA = ^dttA(t). Учитывая, что в коорди-
Л
натном представлении expiqc есть операция умножения, а
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed