Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
действуют обе производные б/ба. Вставка подобного графика
(145)
в цепочку (145) приводила бы к диаграммам вида
254
которые, очевидно, 1-приводимы несмотря на то, нто входящие
в них блоки Гаа вычислены по 1-неприводимым графикам.
Из доказанного выше утверждения и из (140) следует, что для газа
Г (а) = звездная часть \J7(<p -> In а). (146)
Это значит, что Г (а) есть сумма всех звездных графиков с линией Д и вершинами ип(а) = а. Совпадение всех вершинных множителей Un позволяет (см. п. 1.4.5) произвести суммирование по числу линий, соединяющих заданные пары вершин, и перейти к майеровским линиям g =—1 + ехр Л, оставив при этом лишь майеровские графики, у которых любая пара вершин соединяется не более чем одной линией.
Утверждение (146) есть хорошо известная в теории классического газа вторая теорема Майера [7, 8], использованный выше метод ее" доказательства заимствован из [6]. Теорема непосредственно обобщается и на случай газа с произвольными многочастичными силами [46]. Понятие 1-неприводимости для суперграфов, с которыми приходится иметь дело в такой теории (см. п. V.3.2), определяется дословно так же, как и для обычных графов.
Для трансляционно-инвариантной (т. е. пространственно однородной) системы ф и а — константы, не зависящие от х, линия Д(х, X7) зависит лишь от разности х—х', а величины W и Г пропорциональны полному объему системы V=Jdx, так что требуется переходить к удельным значениям. Для таких систем константа а = ехрф есть активность, а — плотность числа частиц (в обозначениях п. V.3.1 ф = Л і и Д = Л2), а удельное значение W, как пояснялось в конце п. 1.3, связано с давлением р соотношением V~lW = ?p.
Обычное диаграммное разложение п. V.3.1 функционала W представляет величину ?/? степенным рядом по активности ехр ф, которая входит множителем в каждую из вершин графиков. Если же мы хотим построить разложение ?p в ряд по степеням плотности а, то нужно выразить W через Г с помощью соотношений (130), (131):
$р V= W= Г + а<р = Г — аГа. (147)
Для однородной системы каждый из графиков в правой части пропорционален V, так что этот бесконечный множитель в (147) сокращается.
Вклад нулевого приближения (141) в правую часть (147) равен, как легко проверить, aV, и если им ограничиться, то (147) будет уравнением состояния идеального газа. Для неидеального газа добавляются вклады графиков Г; классифицируя их по числу вершин, получаем ряд
Г(а)=к2Г-2а"5- (148)
255
общий член которого представляет сумму вгладов всех звездных графиков с п вершинами. Подставив (148) вместе с вкладом нулевого приближения в (147), получаем искомое разложение
?/> = а + 2Г„2«" 0 - л) S„. (149)
Эту формулу называют вириальным разложением, а величины (1—n)Sn называют вириальными коэффициентами [7, 8]. Числа Sn зависят лишь от вида линии А, которая определяется (см. п. V.3.1) парным потенциалом и температурой..
3. Модель Изинга [6). Для модели Изинга (см. п. V.2.1) роль аргумента х играет номер узла решетки і, а вершина JVг(ф) согласно (V.48) имеет вид E In 2ch фг-. Отметим, что в данном случае приведенная и обычная производящие вершины не различаются вследствие равенства нулю закороченной линии А (отсутствие обменного „самодействия").
В НулеЗОМ приближении dt — rjj(r (cp)/(bf.==th ср. и /^(«) = 2/(01/)» /(а) = 1п2 — 1[(1 —(Z)In(I -<х) + (1 +a) In(I +а)]. (150)
Для универсальных вершинных множителей (135) получаем
U1 (а) = а, ипН (а) = (1 — а2) OUn (а)/8а, (151)
т. е. U1 = а, U2 = I-(X-2, U3 = — 2а(1 — а2), и т. д. Записывая ип, мы опустили о-симзолы по узлам решетки. Все Un (а) являются полиномами определенной четности, совпадающей с четностью номера п.
Уравнения (V.50) в обозначениях п. 1 принимают вид
2dR;d\ik = d*R:d?id?k, іфк\ дЧЦдъдъ = /*.
Отсюда для W = In R имеем 2W± = W99 + W9 W9, і ф к\
W99 + W9W9 = X, I = к; а для преобразования Лежандра (130) получаем
2ГД = — Г"1 + аа, іфк\ - Г~1 -f аа = 1, I = к. (152)
Как обычно, выделив из Г нулевое приближение (150), для которого F^ = — X-(X — а2)-1, представим обратную матрицу ГГа1 рядом
-Га* = [і'(7-а2)-7-Гаа]~7= 1-(7-«2) г^+^©,ь... . (153)
Точка обозначает множитель 1—а2, заштрихованный блок—Гаа. При подстановке ряда (153) в уравнение (152) с іфк крат-
256
ное единичной матрице слагаемое 1•(I—а2) не даст вклада, и мы получим
Z(?k)tK = *t** + ft+^k+->. (154)
тогда как уравнение (152) с і = к принимает вид
ill і
(155)
(по і нет суммирования). Уравнение (155) требует равенства нулю диагональных матричных элементов прогрессии блоков. Итерируя эти уравнения, можно, в принципе, определить
все графики Г, хотя нужно сказать, что в действительности
строить графики Г итерациями уравнений очень трудно. Но мы и не собираемся этого делать — уравнения движения, как обычно, нужны нам только для того, чтобы с их помощью установить те или иные топологические свойства графиков Г. В данном случае речь идет о таких свойствах, которые позволили бы дать полное описание незвездных графиков. В отличие от газа в модели Изинга такие графики имеются. Они появляются начиная с четвертого порядка. В трех первых порядках графики
