Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Васильев А.Н. -> "Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике" -> 108

Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.

Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике — Ленинград, 1976. — 295 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcionalmetodi1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 121 >> Следующая

При практическом вычислении вкладов различных графиков в случае однородного поля вершинные множители (151) не зависят от номера узла и их можно вынести общим множителем за знак суммы по индексам вершин. Важно то, что этот множитель одинаков для всех диаграмм в правой части (161), так что учет всех компенсирующих незвездных графиков сводится лишь к изменению правила вычисления вкладов звездных графиков с единичными вершинами.
Для классической модели Изинга из каждой линии Д выносится множитель ?/ (см. обсуждение в конце предыдущего раздела). Главная трудность состоит в вычислении вклада диаграммы с единичными вершинами и линиями К (напомним, что Л# равно единице или нулю в зависимости от того,, взаимодействуют или нет узлы і и k). Отметим, что для единичной линии
~ ^/ft' так что вклаД диаграммы не меняется при удвоении, утроении и т. д. любой из ее линий. Поэтому вычислять нужно лишь вклады звездных майеровских графов, которых сравнительно немного: в первых пяти порядках их всего 5, в шестом — 4, в седьмом — 7, в восьмом—16, в девятом — 42, в десятом— 111 (см. Приложение 2).
Расчет показывает, что компенсирующие диаграммы важны в количественном отношении. Например, для ГЦК*-решетки с взаимодействием ближайших соседей вклад семиугольника без компенсаций равен 403 200, а после компенсаций — 52 416. Для восьмиугольника эти цифры равны соответственно 4 038 300 и 330 588. Для восьмиугольника с взаимодействием первых и вторых соседей в той же решетке имеем соответственно 68 383 350 и 15 420 582. Для плоских решеток вклад графика после компенсаций иногда даже оказывается отрицательным.
5. Второе преобразование Лежандра для классического газа. Рассмотренное в предыдущих разделах преобразование Лежандра осуществляет переход от затравочных переменных к одетым в вершинах графиков статсуммы (или 5-матрицы в теории поля). Для газа эта задача решена еще в тридцатых годах (см. J7]), для модели Изинга — совсем недавно [6, 75J (отметим также интересную работу [78], близкую по духу к[6]). Ни для каких других систем, включая квантовый ферромагнетик Гайзенберга, топологическая задача описания незвездных графиков еще не решена (утверждение (140), полностью характеризующее звездные графики для любой системы, доказано
Естественным следующим шагом должен быть переход от затравочн-ых переменных к одетым в линиях диаграмм, что требует анализа преобразования Лежандра функционала W(ф, А) по обеим переменным ф и А.
* Гранецентрированная кубическая.
в [б]).
264
В настоящее время эта задача решена только для газа. Впервые это было сделано в работе [79], впоследствии приводились другие варианты доказательства (см., например, [56] и имеющиеся там ссылки). Мы приведем еще один вариант, опирающийся, как и другие аналогичные доказательства этой гла-~вы, на уравнения движения для рассматриваемого объекта.
Преобразование, о котором пойдет речь, можно назвать вторым, поскольку оно оказывается тесно связанным со свойством вершинной 2-неприводимости (см.-определение в п. 1). Преобразование (130) в такой классификации является первым.
Итак, рассмотрим преобразование Лежандра логарифма статсуммы №(ф, А) по обеим переменным ф, А, введя сопряженные переменные а = W^1 s = WA и построив функционал ?Г(а, s) = №(ф, А) — аф—sA (как и раньше, индексами обозначаются частные производные по соответствующим переменным). Из определений следует, что 3~а = —Ф, = —А, а матрицы вторых производных W и ?Г по переменным ф, А и а, 5 соответственно взаимно-обратны с точностью до знака. Равенство
= Гд, являющееся частным случаем (13), позволяет считать &~ преобразованием Лежандра по переменной А первого преобразования (130):
S = TA, ЗГ(а, s) = T(a, А) — sA. (162).
Отметим, что это общее свойство всех преобразований типа (10): их можно строить рекуррентно, т. е. каждое следующее является преобразованием предыдущего по очередной переменной.
Из п. 2 нам известно, что для газа функционал Г (a, А) есть сумма нулевого приближения (141) и всех звездных графиков с линиями А и вершинными множителями а. Графики трех первых порядков имеют вид (138). Дифференцируя их по А, полу-
чаем 2s(xa')= (x(x)a(xr) + ^+^<z>+^--+^ + .. , где вершинам (точкам) соответствует множитель а, линиям—А, аргументы х, х' помеченных вершин фиксированы.
Вместо 5 удобно ввести новую переменную со = а~l[2s—aa]a-1, которая в низшем порядке совпадает с А:
со(хУ)=^4о+^'+... . (163)
Если бы мы рассматривали не газ, то на концах линии
стояли бы вершинные множители U2 (см. (135)) и переменную со следовало бы определять соотношением 2s = U2^u2 + aa, если мы хотим, чтобы со и А в низшем порядке совпадали.
265
Для газа переменная а имеет смысл плотности, а со связана с корреляционной функцией флуктуации плотности (см.
определение в п. V.3.1) следующим простым соотношением, которое вытекает из (142):
W99 = 1 - а —j— аша. * (164)
Добавка аша к о-образному слагаемому 1-а представляет вклад в корреляцию за счет взаимодействия.
Уравнения стационарности ?Га = — <р, ST3= — А в переменных a, (D принимают вид &~а (х) —2а-1 (х) J ахг&~ш (х, х')[1 +
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed