Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Обсудим теперь кратко так называемую „теорию без затравок". Допустим, что все потенциалы An в (U) положены равными нулю, другими словами, вариационным методом ищутся функции Грина для теории с нулевым функционалом действия. Искомые функции Грина определяются тогда точкой стационарности функционала Г = 1/2 • tr In ?2 + F (у). Условие стационарности инвариантно по отношению к выбору независимых переменных; беря в качестве таковых ?i, ?2 и у, получаем
Первое из этих уравнений является тождеством, так как Г от
817? = 0; 8Г/8р2 =1/2- = 0; 8F/8T„ = 0. (115)
240
?i не зависит, а второе имеет формальное решение ?2 = со, откуда ясно, что функционал Г при конечных ? вообще не имеет точек стационарности, и нетривиальной теории с нулевым действием не существует.
Рассмотрим теперь теорию с отличными от нуля потенциалами A1 и A2, но без взаимодействия: An = О для всех п>3. В этом случае
Ф (а; А) = const + 4"tr ln + F Ci) + Аг% + 4" A2 (P2 + , (116)
a условия стационарности в переменных ?i, ?2, у принимают вид
At+А& = 0; & + Ач_ = 0; ZF(I)1^n = O. (117)
Первые два уравнения легко решаются: ?2=r— Л2"1 — А, ?1=Ay41. Это решение совпадает с функциями Грина свободной теории, так что можно сказать, что даже если последние уравнения
(117) имеют нетривиальные решения с у^=0, то возникновение этого ,,спонтанного взаимодействия" никак не отражается на двух первых связных функциях Грина, которые остаются точно такими же, как и в свободной теории. На это свойство спонтанного взаимодействия было указано в работе [16].
Уравнения oF/oyn = О, определяющие вершины спонтанного взаимодействия, являются типичными „уравнениями без затравок", которые чжто обсуждались в связи с проблемой скэйлин-га (CiM., например, [72—74]) и по иным поводам („полный бутстрап"). Здесь стоит, по-видимому, отметить, что хотя подобные уравнения обладают очень высокой симметрией, было бы опасно делать отсюда какие-либо заключения о симметрии их решений, если таковые вообще имеются.* Дело в том, что при очень высокой симметрии спонтанное ее нарушение скорее правило, чем исключение. Существуют группы симметрии, которые всегда будут спонтанно нарушенными просто потому, что для таких групп в пространстве переменных а вообще нет неподвижных, т. е. инвариантных, точек. Простым примером являются преобразования, индуцированные трансляцией <р-хр + г поля ф. Можно привести и более интересный пример подобной группы.
Напомним, что функционал F(у) представляется в виде суммы графиков типа вакуумных петель с одетыми линиями и
* Если заменить все функциональные аргументы числами, а функциональный интеграл (8) — обычным интегралом, то мы придем к так называемой нульмерной теории, которая правильно воспроизводит число графиков, но не различает их величины. В такой теории функциональные преобразования становятся числовыми, и аномальных решений заведомо нет, так как исследуемые функции строго выпуклы.
16 Зак. 102
вершинами. Каждый такой график является простым „полиномом" по инвариантным вершинам. Например:
О" = J Cf X, CfX2 OX3 Y3 (X7X2X3) Y3(X1X2X3) . (1 1 8)
Рассмотрим произвольное преобразование х' = f(x) с отличным от нуля якобианом Jf(x) = dx'jdx, не меняющее области интегрирования в (118). Множество таких преобразований образует группу „всех координатных преобразований"; для четырехмерных x она содержит в качестве подгруппы группу Пуанкаре.
Сделав в (118) замену X1-^x1 всех аргументов, видим, что
график (118) пнзариантен по отношению к преобразованию
Тз —> Тз, где по определению
п
Vn(Xi ¦¦¦ *п)= П Uf(X1)}12In(Z(X1) ..•/(Xn)). (119)
Очевидно, что по отношению к таким преобразованиям инвариантен любой график, а потому и сам функционал F(у); пользуясь терминологией теории относительности, можно сказать, что уравнения без затравок (117) являются о б щ е к о в а р и а и т н ы -ми. Однако ясно, что отличные от нуля решения этих у равнений, если они существуют, не могут быть инвариантными, потому что инвариантных по отношению ко всем преобразованиям
(119) функций уп'фО вообще не существует.* Это значит, что симметрия, выражающаяся в общей ковариантности функционала F(у), всегда будет спонтанно нарушенной.
Группу всех координатных преобразований можно, конечно, сократить до какой-нибудь подгруппы, достаточно узкой, чтобы
иметь неподвижные точки в пространстве переменных у, и в этом случае предположение о симметрии решения уже не будет формально противоречивым. Так в сущности и сделано в работах [72—74], посвященных обоснованию гипотезы подобия в
статистической физике, которая на языке вершин у формулируется как инвариантность по отношению к подгруппе преобразований (119), индуцированных масштабными растяжениями xf = Kx (см. также [47]). Предполагается, что в точке фазового перехода можно пренебречь затравочными потенциалами в уравнениях, и затем та или иная симметрия уравнений (например, масштабная или конформная) автоматически переносится на их решения.
* Если исключить из рассмотрения явно не подходящие по своей структуре симметризовапные б-образные произведения вида д(х\—X2) б (хг—#4)... с четным числом аргументов х. На существование таких "общековариапт-ных" функции обратил мое внимание А. А. Андрианов.
