Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
P^1, а не р2). Для вакуумных петель рассматриваемой .теории 2я2 = 3/г3, так что выражение F—P2F2 — Рз^з есть сумма всех графиков F с добавочным комбинаторным множителем 1—п2+-Щ — \— /?3 2 при графике с пг вершинами. Отметим, что скелетные вакуумные петли инвариантны относительно ренормировочных растяжений, a tr In преобразуется следующим образом: tr In р2 — tr In Z $2ZT — tr lnp^-f 2 tr In Z.
Полученные формулы можно использовать в релятивистской теории атома (квантовая электродинамика во внешнем куло-новском поле ядра), где третье преобразование полное (см. замечание в конце п. 8). Графики W в релятивистской теории содержат ультрафиолетовые расходимости, а энергия атома есть конечная разность (бесконечных) энергий п-электронного и вакуумного состояний. Этим двум состояниям соответствует выбор двух различных решений уравнений стационарности, различающихся способом обхода полюсов в фермионном пропага-торе (см. замечание после формулы (86)). Различие в пропага-торах приводит к различию и в других функциях Грина, но обе системы функций Грина ренормируются одинаковыми константами растяжения Z и при составлении разности значений W для двух решений ренормировочные константы сокращаются.
В заключение отметим, что в статистической физике аналогичные (120) — (122) формулы определяют термодинамический потенциал й.
13. Устойчивость и свойства выпуклости функциональных преобразований Лежандра. С помощью функциональных преобразований можно эффективно строить и другие преобразования Лежандра, о которых говорилось ранее: преобразования по числовым параметрам, входящим линейно в функционал действия, или же преобразования по потенциалам, не зависящим от времени.
Допустим для конкретности, что речь идет о наборе вещественных числовых параметров X, входящих линейно в функционал ч(7): Л^(ф) =Л<°)(ф) +IiKiAW(у). Все Л<*)(ср) в этом разложении считаются фиксированными функционалами с трансля-ционно-инвариантными по времени потенциалами лагранжевого типа (см. определение в предыдущем разделе).
Точку X в пространстве числовых параметров будем счиїать особой, если таковой является точка Ак в пространстве потен-
245
/
циалов. По определению (см. п. 1.4) для неособых X функциональная вариационная задача с потенциалами А1 имеет единственное решение а(Ак).
Мы будем предполагать, что почти все точки X неособые, т. е. размерность множества особых точек (если они есть) меньше полной размерности пространства параметров X. Предположим также, что область неособых точек X связна, т. е. любые две неособые точки можно соединить траекторией, целиком лежащей в области неособых точек.
Определим числовое преобразование Лежандра функции
W(K) = W(A'*):
^ = OW(I)IdI1; VM=W(I)-^Ip1. (123)
В трансляционно-инвариантной по времени теории каждая из
величин JLi2-, W, Г пропорциональна полному ,,объему времени" Jdt, и при желании этот бесконечный множитель можно повсюду сократить.
С другой стороны, мы имеем функциональное преобразование Лежандра
an = b\V{A) ЬАп; Г(а)=1Г(Л)-2лА. (124)
П
Если точка X неособая, то значение а(А}) определяется однозначно. Учитызая, что W зависит от X лишь через посредство потенциалов Ак, получаем
h=4f=V^-^ = y<'..(n (125)
п п
Отсюда ясно, что для неособых X значение \i(X) однозначно определяется решением а(Ах) функциональной вариационной задачи.
Из п. IV.3.2 мы знаем, что величина WQ-) пропорциональна выпуклой функции є(Лх), и это доказывает, что в области неособых x соотношения (125) однозначно разрешимы относительно x. Следовательно, в этой области между переменными X и {j- имеется взаимооднозначное соответствие,- что позволяет рассматривать решение функциональной вариационной задачи
как некоторую однозначную функцию а : а (А1) =сЛ
Подставив \х в виде (125) в правую часть определяющего Г (fx) соотношения (123), видим, что функция Г(ц) совпадает со значением функционала r(a)-f- ^ An^an при а = <г\
246
а для варьируемой функции Ф I) = Г (|л) -j- >н\Ч числового преобразования получаем
Г (а) + 2 А"*п
Ф(К I)
п
Ф(а; А")
(126)
а —7
где Ф — варьируемый функционал функционального преобразования. Правая часть (126) зависит от ji через посредство функций Грина 06м, параметры К в потенциалах А1 в процессе варьирования по п считаются фиксированными. Вариациям ц.
в функции Ф(р/, /.) соответствуют вариации а*\ a поскольку функционал Ф(ос; А}) в точке стационарен по отношению к любым вариациям ос, то он стационарен и по отношению к тем вариациям частного вида, которые индуцируются вариациями числовых параметров ji. Это доказывает, что определенные соотношениями (125) значения р, действительно являются решениями вариационной задачи для числового преобразования Лежандра. Ясно также, что соотношения (125) можно продолжить по непрерывности и в особые точки К.
Таким образом, умея вычислять в некотором приближении функциональные преобразования Лежандра и умея решать для них уравнения стационарности, мы можем эффективно строить приближенные выражения для числовых преобразований Лежандра. Не представляет труда обобщить эту конструкцию на случай потенциалов, не зависящих от времени (см. п. 1).
