Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В теории поля с траисляционно-инвариантными по времени потенциалами лагранжевого типа значение Ф в точке стационарности определяет с точностью до нормировки энергию основного состояния Е: W(A) = Ф(а(А); А)=—і(E—E0)JcIt, где E0 — не зависящая от потенциалов нормировочная постоянная. В квантовой статистике роль E играет термодинамический потенциал Й, а ,,объем времени" становится конечным: fdt—? EEE І/kT. Из пи. IV.3.2 и V.l.9 известно, что EnQ суть выпуклые вверх функции параметров А,, следовательно, их преобразования Лежандра будут выпуклыми вниз функциями сопряженных переменных \i. Установленное формулой (126) соответствие между числовыми и функциональными преобразованиями позволяет перенести на последние известные свойства выпуклости первых: правильно нормированный (в теории поля умноженный на і и деленный на Jdt) функционал Ф(а; А) должен иметь, неотрицательные вторые вариации в точке стационарности для тех направлений вариаций бос, которые индуцируются вариациями числовых параметров р, (или, что то же, Vj. Если бы вместо числового преобразования мы рассмотрели более общее преобразование по потенциалам, не зависящим от времени, которое также обладает универсальными свойствами выпуклости (см. пп. IV.3.2 и V.l.9), то получили бы аналогичное (126) соотношение и точно так же доказали бы выпуклость
24?
общего функционального преобразования по отношению к тем вариациям 6а, которые индуцируются вариациями потенциалов, не зависящих от времени. Напомним, что свойства выпуклости, о которых идет речь, вытекают из стандартных спектральных представлений для функций Грина, так что их нарушение означало бы нарушение спектральных представлений.
Физический- смысл эт^х требований выпуклости весьма прост: в теории поля искомые функции Грина, являющиеся решением вариационной задачи, доставляют минимум энергии основного состояния по отношению к определенному классу допустимых вариаций: Отметим, что из (126) и общих свойств выпуклости числовых преобразований (см. п. 1.3) следует также, что в случае вырождения решения функциональной вариационной задачи в классе трансляционно-инвариантных по времени функций различным решениям ос, соответствующим особой точке А в пространстве потенциалов, отвечает одна и та же энергия основного состояния.
Последнее верно лишь для точной теории, а на практике мы ^всегда имеем дело с некоторыми приближенными выражениями, которые получаются отбором4 первых графиков функциональных преобразований, и эти приближенные выражения не обладают правильными свойствами выпуклости.
При наличии вырождения точки стационарности приближенных функционалов делят на стабильные и нестабильные в соответствии с тем, выполняются или нет в данной точке сформулированные' выше требования выпуклости. Обычно о нарушении выпуклости судят по нарушениям в тех или иных спектральных представлениях (типичный пример — доказательство нестабильности нормального решения для сверхпроводника в [21]).
Стабильные точки делятся в свою очередь на абсолютно стабильные, которым соответствует абсолютный минимум энергии основного состояния, и метастабильные, имеющие более высокую энергию. Точный функционал, обладающий правильными свойствами выпуклости, не может иметь ни нестабильных, ни метастабильных точек стационарности, откуда ясно, что работая с приближенными функционалами, мы должны отбирать только абсолютно стабильные решения. Это не относится, конечно, к нестационарным или неравновесным системам, но мы их и не рассматриваем.
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕЖАНДРА ЛОГАРИФМА ПРОИЗВОДЯЩЕГО
ФУНКЦИОНАЛА 5-МАТРИЦЫ
1. Определения и общие свойства. До сих пор мы имели дело с преобразованиями Лежандра'производящего функционала связных функций Грина. В этом параграфе будут рассмотрены объекты другого типа — преобразования Лежандра связной части 5-матрицы, т. е. функционала W=XnR, где R— про-
248
изводящий функционал S-матрицы (1.84). Мы будем записывать (1.84) в виде
#(ср) = ехр W (у) = ехр
1?» > о А о
2 оср бср
ехр лГ(?) (127)
и называть функционал Л(<$), как обычно, производящей вершиной.
Преобразования Лежандра логарифма R интересны главным образом для статистики спиновых систем и неидеального классического газа. Для таких систем статсумма в произвольном внешнем поле имеет вид производящего функционала S-матрицы, что существенно отличает их от систем полевого типа, у которых статсумма подобна производящему функционалу полных функций Грина. Согласно общим правилам § 1.4 функционал W = InR представим в виде суммы всех, связных графов с линией А и производящей вершиной Jl(ф) или в виде суммы всех связных графов без закороченных линий с приведенной производящей вершиной (1.99). Мы будем использовать диаграммную технику с приведенной вершиной, которую обозначим Jl'(ф), а" графики будем классифицировать по числу линий.
Функционал W зависит от ф и А. В этом разделе рассматривается его преобразование Лежандра по переменной ф.
Вклад нулевого порядка по числу линий в Щф) есть вершина Л'{$), изображаемая графически отдельной точкой. Напишем W(y) = «#'(ф) + Щф)» выделив вклад нулевого приближения, и приведем графики W в трех первых порядках (см. Приложение 2):
