Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
+ u)(x, х')]=—<р(х) и 20"» (х, X7)= -а (х) А(хж X7) а (х') соответственно. Запишем их сокращенно:
Fa ™ 2а"1 (1 +со) = —ср, 2УШ = — аДа. (165)
Из равенства (163) видно, что между переменными G) и А имеется соответствие 0^0; отсюда и из (162) следует, что нулевым приближением для является тот же функционал (141), что и для Г.
Разрешая итерациями графическое уравнение (163) относительно А и используя второе уравнение (165), мы найдем явно графики производной а по ним — графики ST. В первых
к
порядках из (163) получаем v ' J і ^ —•— + ... , где
линия теперь со, а не Д. Подставляя это разложение во второе
уравнение (165), находим 2'&ш(x.if) = Л-і+ 1?^откуда
Да,ш) = Г(а^О + ^О^Д* (I66)
где F(а) — нулевое приближение (141). В графиках (166) линия есть со, а вершины такие же, как и в графиках Г, т. е. каждой из__них сопоставляется простой множитель ос. Из вида
графиков Г для газа и процедуры построения T ясно, что это будет верным во всех порядках.
Отметим, что -в трех первых порядках функционал T будет иметь вид (166) не только для газа, но и для любой другой теории, если переменная со определяется так, что в низшем порядке со = А. Но вершинные множители U2 и U3 в графиках (166) будут тогда другими в соответствии с общим правилом (135). Как и для первого преобразования, специфика конкретной теории проявляется в графиках ?Г только начиная с четвертого порядка.
266
Получим теперь аналог соотношения (136) для второго преобразования. Для этого выделим из Г и?" первые графики
r=f + f—* + {о+Р; f = f-|o+f (167)
и подставим эти выражения в (162). Нулевое приближение F тогда сократится, а график первого порядка —«=ад<х б г
сократится одним из вкладов формы sA = [асоа + аа]А/2, и мы получим
-~аа)2а + F (а,- со) = ~ аД2а + Г (а, Д)_і-а<і)Да, (168)
где ао2а обозначает вклад графика о с линиями со, и т. п.
Переменную А в правой части (168) нужно выразить через о) с помощью второго уравнения (165), которое можно переписать в виде
Д CD-2ос 'j1^cc — + <55> . (169)
После подстановки в (168) и сокращений получаем искомое соотношение
F(a, Cu) = OC1^)2OC1 +Г(а, А), (170)
с помощью которого можно рекуррентно строить графики ST по известным графикам Г.
Отберем теперь в обеих частях равенства (170) 2-неприво-димые по вершинам графики. В первом слагаемом в правой части таких графиков вообще нет, поскольку оно имеет структуру и содержит указанное пунктиром нетривиальное
2-сечение. Что касается второго слагаемого, то выражая в нем А через __со, мы должны при отборе 2-н. части отбрасывать
вклады 9"(а в А, поскольку вставка в качестве линии нетривиального блока ® в график Г (а, А) с необходимостью
приводит к 2-приводимому по вершинам графику. Следовательно,
2-н. часть ST (а, со)=. 2-н. часть Г (a, to), (171)
267
что является аналогом (140) для второго преобразования. Все эти рассуждения и результат (171) справедливы для любой теории, а не только для газа. Разница будет лишь в том, что в формулы (168) — (170) вместо а войдет второй вершинный множитель U2 (а).
Соотношение (171) полностью характеризует 2-неприводи-мые по вершинам графики для любой теории, так что вся трудность, как обычно, состоит в описании приводимых графиков. Такие графики есть даже для газа, но они имеют простой вид и могут быть полностью охарактеризованы: это, во-первых, многоугольники, во-вторых, графики вида ^ ^ которые мы будем называть ,,арбузами". Ниже будет показано, что для газа
г-п^?кш)-2 4^[ф.Хф'_ (172>
Приведенные в (166) 2-неприводимые графики третьего порядка точно соответствуют вкладу с п = 3 в сумму (172).
Для доказательства утверждения (172) воспользуемся, как обычно, уравнением движения для F. Для получения этого уравнения нужно выразить вторую производную W^ в (164) через производные F.
Это легко сделать, зная, что матрицы вторых производных WhFb переменных ср, А и а, 5 соответственно взаимно-
обратны с точностью до знака. Отсюда получим W^ =~~ ^~аа +
+ FasFVs Fsa. Подставим это выражение в уравнение (164), предварительно обратив последнее; выразив затем производные F в переменных а, со, получим
2FU> = а [ 1 - сх —J- аа>а ] ~" 1Oc + а?Гааа — 2o)F<0 — h^F~,\h^ (173) ГДЄ Ласо = 0.Fa,, — 2F* 1. (174)
Расстановка аргументов х, х' в уравнении (173) пояснится по ходу дела.
Предупредим читателя, желающего проверить формулы, что связанные с заменой s -> cd выкладки довольно утомительны, хотя в них нет никаких серьезных трудностей. Технически проще делать замену в два шага, переходя сначала от переменной 5(х, x7) к переменной ?(x, х'), определенной равенством 2S = ? -f" а0с (при ЭТОМ Faa-FasF7slFSa ~> Faa —
~~ Fa$FW1Fp0. — 2?T?), a уже затем от ? к ш = OT1Jk-1.
В левую часть (173) входит производная по линии со(х, х'). Первым слагаемым в правой части является . прогрессия
268
а(і-сс + ашоб]"7а= +—с фиксированными аргументами х, х' крайних вершин цепочек. Вклад нулевого порядка из прогрессии сокращается с вкладом нулевого приближения в слагаемом а^яаа=а(х)^аа(х, х')а(х'); вклад первого порядка из прогрессии порождает график о в 5^, вклады
