Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
а в графиках Г сосредоточена в вершинных множителях, так
что производная' Га представляется графиками с одной помеченной вершиной — той, которая дифференцируется по а. іМьі
будем изображать такие графики в виде о и называть
лепестками.
Общий член ряда Тэйлора в (136) представляется графически в виде ,,цветка" с п^>2 лепестками, которые соединяются своими помеченными вершинами. Ясно, что точка соединения является аномальной вершиной получающегося графика; следовательно, все такие графики 1-приводимы, и при отборе звездной части их нужно просто отбросить.
В графиках W(q>) зависимость от ф содержится в вершинных множителях (129). Выражая ср через а посредством равенства
Ф = яр — Га и учитывая определения (129), (135), получаем
^U<p)= ип.ъ (-га)* = . (139)
Ясно, что при отборе звездной части мы должны удерживать только первый член в разложениях (139), так как все следующие приводят к заведомо 1-приводимым графикам. Это доказывает, что для любой теории
звездная часть Г(а) = звездная часть Щф)Іф=^»)- (140)
Это значит, что звездные графики Г отличаются от звездных графиков W только тем, что универсальные вершинные множители (129) выражаются теперь через сопряженную к ф переменную а и переходят в (135).
Таким образом, специфика конкретной теории проявляется лишь в явном виде вершинных множителей (135) и в структуре незвездных графиков. Поскольку графики (138), одинаковые для всех теорий, являются звездными, незвездные графики могут появляться только начиная с четвертого порядка по числу линий. Соотношение (136), в принципе, определяет все графики
252
Г, в том числе и незвездные, и для любой конкретной теории в любом заданном порядке можно с помощью (136) найти все
графики Г, хотя, конечно, с ростом порядка вычисления все более усложняются. В настоящее время полное описание диаграмм Г во всех порядках известно лишь для двух теорий: для классического газа [7, 8] и модели Изинга [6, 75]. Для газа ответ очень прост: незвездных графиков в Г вообще нет. В следующем разделе мы докажем это утверждение, используя, как обычно, уравнения движения для исследуемого объекта.
2. Классический неидеальный газ, вириальное разложение. Для газа с парными силами приведенная производящая вершина определяется формулой (V.68): Ж' (ср) = fdx ехр ф (х). Это взаимодействие выделено тем, что все вершинные множители (129) совпадают между собой с точностью до б-функций. Нулевое приближение (132) для Г легко находится:
а (х) — ЪЖ! (cp)/o-f (х) = ехр ср (х), F(а) = J dxa (х) [ 1 — In а (х)],
(141)
a все вершинные множители (135) оказываются равными а с точностью до б-функций.
Основную роль в дальнейшем будет играть уравнение (V.63). Для перехода к обозначениям предыдущего раздела в нем нужно сделать замену Z ->/? = ехр W, A1 -> ср, A2-> А, после которой его можно будет переписать в виде 2RA =
= R—l'^o- Как обычно, индексами обозначены частные
производные по соответствующим переменным, а 1 обозначает ядро единичной Операции, т. е. о(х — х'). Для W — InR получаем
2Гд= +Wl-I- W,. (142)
Остается переписать это уравнение в терминах Г, что нетрудно сделать, воспользовавшись равенствами (131) и аналогичным (4), (13) равенством №д = Гд:
2ГД = — Г-1 + а2 — 1 - а. (143)
Выделив из Г нулевое приближение (141), мы сможем
представить величину Г"1 з виде ряда. Имеем FrJL = — In а, Fа а = — 1-а'1, откуда
— Г~* = [bor1 —Гаа]"1 = 1 • а 4" агаа<х + аГаааГааог + . . . Л Подставив этот ряд в (143), получаем уравнение
2ГА == or + <хГааа -f аГаааГ,аа + . . . , (144)
итерационное решение которого определяет все графики Г.
253
Обозначив А линией, множитель а — точкой, а вторую про*-
изводную Гъя—блоком и свернув равенство (144) с А,
получаем
Затравочный график в правой части равенства определяет Г з первом порядке по числу линий. Вычислив по известному Г блоки Таа в правой части, мы найдем Г во втором порядке, и т. д. Отметим, что определение АГд равносильно определению Г, так как эти две величины различаются лишь коэффициентами при графиках (АГд имеет дополнительный множитель k для графика с k линиями). Общая схема итераций уравнения (145) ничем не отличается от изложенной в п. 2.5.
Іеперь переидем к доказательству основного утверждения: все графики, получаемые при итерациях уравнения (145), звездные. Начать нужно с наблюдения, которое легко доказывается по индукции: во всех графиках, получаемых при итерациях, любой из вершин сопоставляется один и тот же вершинный множитель а (с точностью до б-функций). Учитывая это, нетрудно убедиться, что уравнение (145) обладает свойством ,,сохранения звездности", а именно: если все графики Г вплоть да некоторого порядка являются звездными, то получаемые при итерациях графики следующего порядка также будут звездными. Действительно, если предположить, что какой-либо из графиков з правой части (145) имеет вершинное 1-сечение вида
cto 9 то отсюда будет следовать, что это сечение содержится
внутри одного из блоков Гаа в противоречии с индукционным
предположением. Здесь важно, что вершинам в графиках Г сопоставляется простой хмножитель а, и поэтому во второй производной Таа две операции дифференцирования по а обязательно действуют на разные вершины. Будь это не так, среди графиков Гаа с необходимостью были бы и однолепестковьіе графики вида о с одной выделенной вершиной, на которую
