Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Г для модели Изинга, как и для любой другой теории, имеют вид (138) и являются звездными. В соответствии с общими правилами п. 1, вершинам этих (и других звездных) графиков сопоставляются универсальные множители (151).
Полное описание незвездных графиков будет дано в следующем разделе, а пока мы кратко обсудим наиболее важный для практики частный случай однородной системы. В обозначениях п. V.2.1 фг = ?/i* и Aik = fflih, где ? = XJkT1H — внешнее поле, Ъу—матрица обменного взаимодействия моментов. В классической модели Изинга берут V%k = Аіл, где J — „обменный интеграл" (константа, имеющая размерность энергии), X— матрица взаимодействия ближайших соседей: XiU=U если і и к — ближайшие соседи решетки, и U = O в остальных случаях. Рассматриваются и более сложные взаимодействия, например такие, для которых Xik = 1 не только для ближайших, но и для вторых соседей решетки.
Для однородной системы поле фг и сопряженная переменная— намагниченность щ — не зависят от номера узла, а каждый из графиков WnT пропорционален полному числу узлов V = H и нужно, как обычно, переходить к удельным величинам. Классифицируя графики Г по числу линий А, каждая из которых содержит безразмерный множитель ?/, мы получим высокотемпературное разложение удельной величины
т(«, P) ^ Г/1/=/(«)+ 2^1 (р/)»Рй(«). (156)
4
17 Зак, 102 257
в котором f(a) — вклад нулевого приближения (150), а общий
член ряда есть сумма вкладов всех графиков Г с п линиями. Разложение (156) называется высокотемпературным, потому что ?~ I/Т.
Коэффициентные функции Pn[OL) в (156) оказываются полиномами по а2, старшей степенью Pn является а2п. Это очевцдно
для звездных графиков Г при учете явного вида вершинных множителей (151) и того факта, что всякий график содержит четное число нечетных вершил. В следующем разделе мы увидим, что это верно и для незвездных графиков.
Коэффициенты полиномов Pn (все они становятся целыми числами после умножения на я!) имеют смысл структурных постоянных, определяемых решеткой и типом взаимодействия. Нами были вычислены коэффициенты всех ПОЛИНОМОВ Pn ДО л = 8 включительно для двух плоских (квадратной и треугольной) и трех объемных (гранецентрированной, объемноцентриро-ванной и простой) кубических решеток, причем объемные решетки рассматривались в двух вариантах: взаимодействие только ближайших соседей и взаимодействие ближайших и следующих соседей. Результаты этих расчетов используются для анализа критического поведения [76, 77].
4. Анализ незвездных графиков для модели Изинга [75]. В обычных диаграммах W и Г вершинам l.../г приписываются индексы i\.. An, и суммирование по ним производится независимо, т. е. каждый і а пробегает всю решетку. При этом в сумме по всем i\.. An будут, конечно, встречаться слагаемые с совпадающими подгруппами индексов.
Иногда удобнее рассматривать суммы по несовпадающим индексам, т. е. суммы с дополнительным условием ІоіФІ$ для любой пары аф$. Сумму „по всем" можно представить в виде линейной комбинации сумм „по несовпадающим": п индексов разбиваются всеми способами на группы, внутри которых все индексы совпадают, а индексы разных групп не совпадают.
Как уже было сказано, в обычных диаграммах суммирование производится „по всем". Можно рассматривать и такие диаграммы, в которых по условию суммирование производится только по несовпадающим индексам. Мы будем называть их для краткости диаграммами в Jf-форме и ставить перед диаграммой знак Jf. Любую диаграмму D можно переписать в Jf -форме:
D = Jf^D5. (157)
Суммирование производится по всевозможным разбиениям s множества индексов диаграммы D на группы несовпадающих индексов (будем говорить ,,по всем вариантам стягиваний") г D8 — стянутая диаграмма, у которой все вершины, принадлежащие одной группе, стянуты в одну точку. Среди диаграмм
258
имеется исходная диаграмма D, соответствующая разбиению, каждая группа которого состоит из одного элемента. Различные варианты стягиваний мы будем изображать с помощью пунктирных „линий совпадения", которым сопоставляется единичная матрица oik в отличие от сплошной линии Aik. Все вершины группы, стягиваемой в одну точку, соединяются между собой пунктирными линиями, т. е. каждой такой группе соответствует полный граф пунктирных линий.
В модели Изинга можно не рассматривать те стягивания, в которых хотя бы одна пара вершин соединяется одновременно пунктирной и сплошной лилиями, — вклад такой диаграммы равен нулю вследствие равенства нулю диагональных элементов Д. Приведем в качестве примера переход к Jf-форме для квадрата:
Переходим теперь к доказательству основного утверждения
этого раздела: в Ж-форме все графики Г являются звездами.
Во избежание недоразумений уточним смысл термина звезда применительно к диаграммам в Л^-форме. Нужно иметь в виду, что использование пунктирных линий — только удобный прием для изображения стягиваний, а в действительности стягиваемые вершины следует считать сведенными в одну точку. Эта точка будет нормальной или аномальной (т. е. 1-сечением) вершиной графика в зависимости от того, сохраняется ли связность графика при ее удалении. При использовании пунктирных линий удаление такой вершины означает одновременное удаление всех вершин, стягиваемых вместе, т. е. соединенных пунктирными линиями.
