Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
2V2
Но если принимать во внимание сверхвысокую симметрию ,,уравнений без затравок"*, то любое суждение о совместности той или иной группы симметрии с уравнениями обесценивается— таких групп сколько угодно, но заранее известно, что большинство из них будут спонтанно нарушенными. Всякое предположение об инвариантности решения (если оно вообще существует) должно опираться на какие-либо аргументы, поясняющие, почему именно эта симметрия не будет спонтанно нарушенной.
12. Энергия основного состояния. Согласно определениям п. 1 в псевдоевклидовой теории А(ц) =/5(ф), где 5 — функционал действия. Рассматривая преобразования Лежандра, мы сначала считаем потенциалы An произвольными симметричными функциями. Однако на практике нас всегда интересуют теории с потенциалами лагранжевого типа, т. е. такими, для которых функционал действия представляется в виде интеграла по времени от некоторого вещественного /-локального функционала— лагранжиана. В отсутствие нестационарных внешних полей лагранжиан не зависит явно от времени, т. е. потенциалы An инвариантны по отношению к временным трансляциям. Если эта симметрия не нарушается спонтанно, что мы предположим, то таким же свойством будут обладать и все функции Грина.
Согласно общим правилам п. 1.6.5 интеграл (8) пропорционален вакуумному ожиданию S-матрицы, а эта величина связана соотношением (1.74) со сдвигом энергии основного состояния. Следовательно,
где W0 — значение W(A) для теории, которую мы считаем свободной, г(А) — разность энергий основного состояния для полной и свободной теорий. Отметим, что вследствие трансляционной инвариантности по времени обе величины W, W0 пропорциональны J dt, так что этот бесконечный множитель в (120)
сокращается.
Из п. 1.7.4 мы знаем, что W(A) есть сумма Д>+ 1 /2• tr In А и всех связных графиков с линией А = — An1 и вершинами An, п=?0, 2. Если в качестве свободной берется теория с нулевыми вершинами An, п ф 0, 2, то W0 = A0+ l/2-tr In А, и в левой части (120) эти вклады сокращаются.
В рамках вариационного подхода величину W(A) можно находить как значение варьируемого функционала (12) в точке стационарности а = а (Л):
* Отметим, что функционал F (у) инвариантен и по отношению к преобразованиям ип*(п, где и — произвольная ортогональная (ити = 1) операция.
(120)
(121)
16*
243
Мы учли добавку константы A0 к (7) и воспользовались уравнениями стационарности (11), чтобы выразить затравочные переменные An через одетые переменные а.
Формула (121) содержит решение нетривиальной комбинаторной задачи пересуммирования затравочных вакуумных петель (диаграмм W(A)) в скелетные, причем „степень одевания" определяется порядком используемого преобразования Лежандра. Если Г — полное преобразование, то в правой части (121) исключены все потенциалы An, пфО, и величина W(A) выражается только через а, т. е. через функции Грина теории.
При практическом использовании соотношения (121) желательно перейти в нем от несвязных переменных а хотя бы к связным переменным р. Сумму по п в правой части (121) можно
переписать в виде ^ка^\> гДе гл = аГ/8рА и ak=an%/8v
Пользуясь формулами п. 2, нетрудно показать, что ak — — _ 0?"1 (ср) o^>^ I о> где а (ср) = ехр ? (ср) — функционал (16).
Отсюда ясно, что коэффициенты ak совпадают с полными функциями без вакуумных петель, в которых изменен знак при всех слагаемых, содержащих четное число связных множителей ?: «і = P1, а2 = P2 — ?i» a3 = ?3 — 3?2?i +?i (симметризация по аргументам ак подразумевается), и т. д.
В случае полного преобразования Г не зазисит от первой связной функции P1, которая входит лишь в коэффициенты ak. Всю зависимость от P1 можно выделить явно, выполнив ренормировочное преобразование ср = ср'-}-?i- Оно индуцирует преобразование А (ср) = А'(ср') потенциалов А в функционале (7), а величина W при этом не изменяется (см. предыдущий раздел): W(A)=W(A'). Значение W(A') можно вычислить по формуле (121), заменив в ней все величины преобразованными:
A0 -> Ao, а = а (А) а (A') = а', где Ao = A (B1) — преобразованный нулевой потенциал и си' — преобразованные функции Грина. Из формул § 1.9 следует/ что рассматриваемое нами преобразование не меняет связных функций ?„ с #=?1, но обращает в нуль первую связную функцию: ?j = 0, ?^ = ?„ при п ^M.
Поэтому после преобразования содержащие ?x слагаемые ak обращаются в пуль и вся зависимость от ?t оказывается сосре-
доточенной в преобразованном\нулевом потенциале A0=A (?i)= = /S(P1) (напомним, что S — функционал действия):
W (А)= А (р.) + Г _ 2;=2 akYk |?i=0. (122)
Сумма по k начинается с двух, так как для полного преобразования T1 = OFZBp1 = O.
Рассмотрим в качестве примера третье преобразование, предположив, что оно полное. Из приведенных выше формул для ak следует, что при P1 = O а2 = §2 и аз — $з, так что.равенство (122) принимает вид W(A) = A (P1) + Г — р2Г2 —- р3Г3.
244
В нашем случае Г=1 2-tr 1 + 1/2-tr In p2-f-F, где F есть известная (см. п. 8) сумма 3-неприводимых скелетных вакуумных петель. Поэтому W(A)=AQ1)^lV-U Щ2+F— P2F2-P3F3.
Операции P2SySp2 и ?з§/%, дейстзуя на F, изменяют лишь коэффициенты при графиках: первая из них вводит дополнительный множитель (— /Z2), а вторая — /г3, где /г2 и п3 — числа линий и вершин соответственно (минус при Ji1 появляется потому, что в связных переменных линии графика сопостазляется
