Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Васильев А.Н. -> "Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике" -> 107

Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.

Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике — Ленинград, 1976. — 295 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcionalmetodi1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 121 >> Следующая

26!
которой точкой сочленения блоков линией совпадения и линией несовпадения одновременно.
Доказав отсутствие опасных графиков в правой части (154), мы доказали тем самым по индукции искомое утверждение:
в ./Г-форме все графики Г являются звездами.
Если представлять графики Г в обычной, а не в ./Г-форме, то среди них будут и незвездные. Доказанное выше утверждение позволяет дать полную и удобную для приложений характеристику этих графиков^
Допустим, что Г представляется обычными графиками и
Г = Фі + Ф2, где Фі —звездная, а Ф2 — незвездная части Г. Слагаемое Фі известно из (140), а Ф2 нужно определить исходя из того, что сумма Фі + Ф2 после приведения к ./Г-форме содержит лишь звездные графики: Ф! + ф2 = Jf1^9 где t|?—звезды.
Сначала убедимся, что это условие определяет Ф2 однозначно. Предположим, что это не так и условию удовлетворяют два разных набора Ф2 и Ф/ незвездных графиков. Тогда (Фі + Ф2) — (Фі + Ф/) =./Г(г|)—г|/), т. е. множество незвездных
Графиков Ф2—Ф2 после приведения к «/Г-форме представляется звездными графиками г|)—г|/. Но это невозможно, так как после приведения Ф2—Ф2' к ./Г-форме мы должны получить под знаком Jf среди прочих графиков и все исходные незвездные графики Ф2 — Ф/ (см. замечание после формулы (157)).
Тем самым мы доказали, что наше условие определяет незвездную часть T однозначно. Это значит, что найдя каким угодно способом набор незвездных графиков, удовлетворяющий нужному условию, мы находим тем самым единственное решение задачи, Именно так мы сейчас и поступим, предложив для определения незвездных графиков ,,рецепт компенсации".
Пусть D — некоторый звездный график, а — множество всех вариантов стягиваний 5 в этом графике, D8 — стянутый график. Стягивание s назовем аномальным, если D8— незвездный график; множество всех аномальных стягиваний обозначим v.
Упорядочим множество всех стягиваний, сопоставив каждому s f а число р = p(s), равное по определению числу пунктирных линий данного стягивания. При р = 0 имеем D8 = D, при р = 1 стягивается одна (любая) пара вершин, при р = 2 — две пары. При р = 3 есть две возможности: либо стягиваются три пары вершин, либо одна тройка вершин.
Обозначив множество всех (аномальных) стягиваний с данным р соответственно Gp(Vp), перепишем соотношение (157)
подробнее: D = Jf {^ + ^єа ^ + Хєа Ds + - • •} • Ясно, что разность D(1) = D — v ®s после приведения к ./Г-форме не содержит диаграмм с аномальными стягиваниями первого порядка, поскольку D3 = JF ^D3 + [Ц?Ь'} > а все диаграм-
262
ч
мы [Ds]s, с р (sr) > 1 имеют более одного стягивания (т. е. р > 1).
Переход от D к D(1) назовем первым шагом компенсации.
По построению D(1) в ./Г-форме содержит лишь аномальные стягивания с /?>1.
Выделим из них аномальные стягивания наименьшего
(/7-2) порядка: D(1) = Jf {D(1) + 2,ev D{s1] + ... } и составим
разность (второй шаг компенсации): D(2) — D(1)—V D^.
По построению в ЛР-форме не содержит аномальных стягиваний с р^2. На третьем шаге компенсации из DW вычитаются графики с аномальными стягиваниями третьего порядка, и т. д. Повторяя эту операцию нужное число раз, мы придем к полностью компенсированной диаграмме, не содержащей никаких аномальных стягиваний после приведения к Jf-форме.
Рецепт компенсации можно коротко. сформулировать следующим образом: по заданному звездному графику D строиїся выражение
DK0Mn = D + ^csDs, (161)
в котором суммирование производится по всем топологически неэквивалентным вариантам аномальных стягиваний, а числовые коэффициенты cs подбираются таким образом, чтобы выражение (161) после приведения к Jf -форме не содержало незвездных графиков. Доказанная ранее теорема единственности позволяет утверждать, что для модели Изинга функционал Г есть сумма всех звездных полностью компенсированных,графиков.
Согласно равенству (140) вершинные множители звездных графиков универсальны и для модели Изинга имеют вид (151). Множители, сопоставляемые точкам стягивания в компенсирующих диаграммах D8, являются произведениями множителей (151) всех стягиваемых в данную точку вершин, и поэтому они заведомо неуниверсальны, т. е. определяются всей диаграммой в целом, а не просто числом сходящихся в вершине линий. Отсюда ясно, что все точки стягивания в компенсирующих диаграммах должны быть аномальными вершинами, так как из формулы (136) и последующих рассуждений видно, что вершинные множители могут быть неуниверсальными только для аномальных вершин. Суммирование в (161) производится по всем неэквивалентным стягиваниям, у которых хотя бы одна точка стягивания оказывается аномальной вершиной, но из сказанного выше следует, что в действительности коэффициенты C8 будут отличны от нуля лишь при тех диаграммах D8, в которых любая точка стягивания является аномальной вершиной.
263
I
Первым из звездных графиков, имеющим аномальные стягивания, является квадрат. Из (158) видно, что для компенсации нужно добавить квадрат с одной пунктирной диагональю с коэффициентом —2. В качестве еще одного примера приведем выражение для полностью компенсированного шестиугольника:
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed