Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
w =1«^_ + . . . 4. і. ,t-V^ ц. ± (128)
Напомним, что в этих графиках любой вершине, в которой сходится п линий, сопоставляется универсальный вершинный множитель
Jln(^) = V1JV (і)\Ь^ (129)
(мы опустили аргументы X1. . .Xn) .
Определим теперь преобразование Лежандра Щф) по переменной ф(х), введя сопряженную переменную а(х)= о1^(ф)/бф(х) и функционал
Г (я) = №(<р) —а<р. (130)
Из этого определения вытекает (см. п. 2.1) обычное уравнение стационарности для Г, а также то, что вторые производные W и Г по переменным ф и а соответственно взаимно-обратны с точностью до знака. Мы запишем эти соотношения сокращенно,
249
опуская аргументы х и обозначая индексами ф, а частные производные по соответствующим переменным:
UT9=Ot, Га=-?, №?9Гая == - 1. (131)
Обозначим F(a) нулевое приближение для Г(а). Из (130) ясно, что F является преобразованием Лежандра приведенной производящей вершины M (ц), играющей роль нулевого приближения для Щф):
F(a) = Ж' (ср) — аср, а = UV (ср)/оср. (132)
Обозначим Г (a) = F (а) + Г (а) и перепишем определение (130), выделив из Г и W нулевые приближения:
F(a) + Г (а) = Ж' (ср) + Щ<?) — аср. (133)
Выразим переменную ф через а с помощью уравнения стационарности ф = —Га = Ij)—Га, где г|) (а) представляет вклад в <р(а) от нулевого приближения F. Подставив ф в таком виде в правую часть (133) и разложив Ж1'(ф) в ряд Тэйлора, получим
со
F(а) + Г (a) = ^-L И„ (_ Гв)« + W(V) - а (<]> - Г.), (134)
/1=0
где обозначено
u„ (a) = Z»JC (у;ЪГ = Ж'п (?) L,^ (а). (135)
Из определения ij) ясно, что эта величина совпадает Сф = ф(а) в соотношении (132). Отсюда следует, что uQ = F + ^a и Ui = а, так что вклады нулевого приближения, а также линейные по Га члены в (134) сокращаются и мы получаем
со
л = 2
(136)
=ф (а)
Для дальнейшего отметим, что все Un (а) с # ^l можно строить из U1=Cf. с помощью вытекающего из (135) рекуррентного соотношения ип+х=оип/о'Ь, которое в переменных а принимает следующий вид:
U1 = (I9 Un^1 = — F~Jout?a. (137)
Полученное выше соотношение (136) справедливо для всех теорий, и оно позволяет строить рекуррентно графики Г по известным графикам W. Действительно, функционалы Г и W не содержат нулевого приближения, так что их разложения начинаются с первого порядка по А. Поэтому вклад низшего (пер-
250
вого) порядка по Л в правой части (136) содержится в известных нам графиках W(q>), причем входящую в них переменную
<р = г|)—Га нужно брать в нулевом приближении по Л, т. е. в приближении ф = г|). Следовательно, в первом порядке графики
Г и W совпадают, но вершинные множители (129) графиков W переходят в множители (135) для графиков Г. Определив таким образом Г в первом порядке и зная W во втором порядке,
мы можем найти с помощью (136) графики Г второго порядка, и т. д. Для трех первых порядков таким путем получим
Г(сс) = | ~ + {o + ^e-fAv. < (138)
Б этих графиках линия есть А, а вершинам сопоставляются универсальные множители (135); в частности, в графике первого порядка U{ = а.
Приведенные выше графики трех первых порядков одинаковы для всех теорий, т. е. для любой вершины Jl'(ц). Различия в графиках Г для разных теорий начинают проявляться только с четвертого порядка.
Введем теперь несколько новых топологических понятий. Изучавшиеся ранее диаграммы преобразований Лежандра производящего функционала связных функций Грина обладали определенными свойствами неприводимости, которые характеризовали степень связности графика по отношению к разрывам ¦его линий. Теперь такую же роль будут играть свойства „вершинной неприводимости", характеризующие степень связности графика по отношению к операции удаления его вершин.
Будем говорить, что данный граф является J-неприводимым по вершинам, если он остается связным при удалении любой одной его вершины. Такие графы называют также звездами [8]. Из приведенных в (128) графиков 1-неприводимы только те, которые остались в (138).
Обобщая это определение, естественно ввести понятие вершинного k-сечения, имея в виду набор k штук вершин графика, одновременное удаление которых приводит к распаду графика на две (или более) не связанных между собой части. Естественно различать тривиальные и нетривиальные й-сечения. Для k = 2 тривиальным следует считать сечение, разделяющее граф на две части, одна из которых является простой линией. Такие 2-сечения есть в любом графе — удаление той пары вершин, которые соединены линией, приводит к отщеплению последней. Поэтому 2-неприводимость нужно определять как отсутствие 1- и нетривиальных 2-сечений.
Для анализа преобразований Лежандра Щф) достаточно определенных выше понятий 1- и 2-неприводимости. Более сильные свойства 3-, 4- и т. д. неприводимости, с которыми пока
251
еще никто не имел дела, должны быть, видимо, присущи объектам типа преобразований Лежандра по многочастичным потенциалам логарифма статсуммьр классического газа с многочастичными силами.
В дальнейшем мы будем часто называть вершины графа, являющиеся его 1-сечениями, аномальными; их также называют артикуляционными [8].
Вернемся теперь к уравнению (136) и отберем его звездную часть, иными словами, приравняем суммы 1-неприводимых по вершинам графиков в обеих частях равенства. Зависимость от
