Системы связи с шумоподобными сигналами - Варакин Л.Е.
Скачать (прямая ссылка):
биномиального распределения КФ с помощью границы Чернова дает хорошие
результаты только при больших значениях КФ. В случае малых допустимых
значений КФ корректнее использовать аппроксимацию биномиального закона
рядом Эджворта:
W{R)'"yke~"r[1+i"H* (-?)]• <4132>
где дисперсия o2 = l/2N, коэффициент эксцесса у=1 при N^>1; И 4 - полином
Эрмита. При этом среднее значение объема большой системы [45, 46]
- п/7 Rn N
L> 4^w5/2 е • (4-133)
Из формулы (4.129) также следует экспоненциальный рост объема большой
системы с ростом длины последовательностей N, что совпадает с результатом
работы [44] в соответствии с формулой (4.131). Вместе с тем, .при
увеличении N уменьшается и дисперсия КФ. Поэтому возникает вопрос, как
правильно задавать совместно допустимый уровень Ro и длину
последовательности N. Исследование этого вопроса, приведенное в [45],
показало, что КФ обладают "пороговым свойством": при Ro<.RUoP КФ
произвольного сигнала превышает порог с вероятностью, близкой к 1, при
Ro>Rnop это событие происходит с малой вероятностью. Пороговое значение
Япор-КИаЛО/ЛГ. (4.134)
где а" 1,6. Если положить, что допустимый уровень
/?0 =]/а Япор, (4.135)
то среднее значение объема большой системы [45]
L>C(a) W-~' . (4.136)
[In (aN)] /
где с(а) =3я1/2а~а2~2а3/2. Из (4.136) следует, что среднее значение
объема больших систем с допустимыми корреляционными свойствами растет по
степенному закону, который существенно отличается от экспоненциального
закона. Введение "относительной единицы" измерения уровня КФ в виде Rnoр
(4.134) позволило корректно определить объем большой системы сигналов.
Например, если необходимо построить систему сигналов с объемом, равным
базе, т. е. длине последовательности N, то надо положить а=2. При этом
допустимый уровень КФ должен в 2 |/ In (aN) превышать
среднеквадратическое значение, равное 1/]/2N. Если необходимо построить
системы с LmN2, то множитель а = 3 и т. д.
127
Таким образом, более реальная задача, которую возможно решить,-
построение системы сигналов С объемом, который определяется степенным
законом
L=AN°-\ (4.137)
где А - некоторая постоянная, зависящая от N и а.
4.12. Оценки апериодических ВКФ
Оценки ВКФ необходимы как для определения взаимного влияния абонентов в
системах связи, так и для оценки объема больших систем. Кроме того,
оценки ВКФ служат для определения полезности тех или иных алгоритмов
построения систем сигналов.
Исторически первой оценкой КФ была оценка, полученная из условия
ограниченности объема тела неопределенности. Поскольку в дальнейшем была
доказана ограниченность объема взаимной функции неопределенности (ВФН)
(см., например, [5]), то из условия ограниченности объема получается
следующая оценка среднеквадратического значения ВФН при усреднении по
времени и по частоте [5]:
оВФН~ 1/21/Ж (4.138)
Эта оценка в V~2 раз меньше, чем оценка ВКФ од для случайных
последовательностей. При выводе (4.138) было положено, что база ФМ
сигнала равна N. Среднеквадратическая оценка апериодических ВКФ для
случайных последовательностей свкф=1 /V2N-* одна из наиболее характерных
для ФМ сигналов, поскольку многие иные оценки пропорциональны ей.
Оценка (4.138) по сути является интегральной, поскольку производится
усреднение по времени и по частоте. Можно найти несколько оценок КФ на
основе других интегральных равенств, справедливых для корреляцйонных
функций. Одним из наиболее рас-пространственных является интегральное
равенство Сталдера - Кана [5]:
2* R)k (*> = j! Rj(n)Rh(n). (4.139)
п=-(N- 1) п=- [N- 1)
Левая часть равенства равна сумме произведений квадратов значений ВКФ, а
правая - сумме произведений значений АКФ. Обозначим среднеквадратическое
значение ВКФ через овкф- Из (4.139) получаем
Оо,(tm). =
1
вкф 2N- 1
1+2%lRj(n)Rh(n)
п= 1
(4.140)
Равенство (4.140) соответствует тому, что АКФ - симметричная функция и
Nj(0) =Rh(0) = 1. Из этого равенства можно получить
128
ряд оценок. Сначала допустим для простоты, что -Rj (п) =/?ь (л) =0 при пф
0. В этом случае
Свкф - 1/1/ 2JV-1 " 1/V2N, (4.141)
что совпадает с оценкой среднеквадратического значения ВКФ случайных
последовательностей. Преобразуем равенство (4.140), используя неравенство
Коши - Буняковского,
Л'-1
2 Ry ("1 Rb (п)
п=1
Л-1
2 R/(")
п= I
1/2
N-1 "
2 я* (я)
П=1
1/2
(4.142);
Применяя неравенство (4.142) к (4.140), получаем две оценки: сверху
----
ВКФ5^ 2Л,
снизу
j2
ВКФ 2/V
Ьг{1 + [|^Н,/2 [l,1^ Гп)]1/2}: (4Л43):
[1,,/?|(л)]1/2 }¦ (4144)
Найдем статистические характеристики величины о2Вкф (4.140). Поскольку
можно .полагать, что АКФ в правой части (4.140) распределены по
биномиальному закону с нулевым средним значением и дисперсией 0.5/V, то
среднее значение
¦^=1/2#-1 "1/2 N, (4.145)
а дисперсия
М2 {о2Кф} = 2 (N-1)/3 (2N- 1) N* " 1/ЗА/3. (4.146)
Отношение
м{°вкф}/°вкф"2/3^ (4-147>:
убывает с ростом N. Поэтому при N^$> 1 среднее значение (4.145)
достаточно точно характеризует величину о2вкф. Оценка (4.145) совпадает с
