Системы связи с шумоподобными сигналами - Варакин Л.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Число ДЧ сигналов без совпадений элементов по частоте
Z. = M1 (5.19)
Соответственно число пар сигналов равно (Ml)2 Из них Ml пар сигналов
состоят из тождественно одинаковых сигналов и имеют М совпадений, а из
оставшихся (Ml)2-Ml пар сигналов половина не различима, так как каждой
паре с номерами 1 и / соответствует пара с номерами / н I, т. е. нз (Ml)2
можно исследовать не более [(М!)2-Ml]/2 пар сигналов.
Доказано [5], что относительное число пар перестановок с т совпадениями
или вероятность т совпадений
PM(m) = MlDMml(Ml)^DMimiMl (5.20)
Число Dм,т называется субфакториалом, так как доказано, что оно имеет
много свойств, аналогичных свойствам факториалов.
Субфакториал
¦+(-1)"ж]- <5'21)
Таблица 5.1. Субфакториал
м 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dm 0 1 2 9 44 265 1854 14333 133496 1334961
134
Его значения приведены в табл. 5.1.
Для субфакториала известны рекуррентные соотношения:
DM.ni = CMDM-m. Dm = MDm_i-Н-1)w, (5.22), (5.23)
которые позволяют найти любое DM и DM,m¦ Формулы (6.20) - (5.23)
позволяют найти вероятность т совпадений.
При больших М выражение в квадратных скобках (5.21) стремится к е-1, что
позволяет аппроксимировать распределение вероятностей (5.20) законом
Пуассона со средним значением, равным единице [5]:
PM(m)~l/eml. (524)
Из (5.24) следует, что при М 1 вероятность РМ(Щ практически не зависит от
М. Наиболее вероятны случаи, когда т=0 (совпадений нет) и т=1 (одно
совпадение). Их вероятности примерно равны е-1": 0,368. В табл. 5.2
приведены значения вероятностей Рм(т) для М=5 н М=9, рассчитанные по
точной формуле (5.20).
Т аблнца 5.2. Распределение числа совпадений
т 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Р5 (т) 0,366 0,375 0,167 0,083 0 0,0083
Р9 (т) 0,368 0,368 0,184 0,061 0,015 0,003 5-10-4 10-4 0 з-ю-"
Сравнение данных табл. 5.2 с законом (5.24) позволяет использовать этот
закон для приближенных расчетов. Распределение Ps(m) при М=5 (табл. 5.2)
незначительно отличается от распределения (5.24), а распределение Р9(ш)
при М=9 практически не отличается от (5.24). Поскольку наиболее
вероятными согласно (5.24) являются или т=0, или иг=1, то модуль ВКФ
(5.10) наиболее вероятно будет равен или 0 или 1/М. Среднее значение
числа совпадений, распределенного по закону Пуассона (5.24), равно 1.
Поэтому среднее значение модуля ВКФ (5.10)
R = mi {| Rjk (к) |} = 1 /М ¦ (5.25)
Вероятность появления т=0 или т=1 равна 0,736, вероятность появления т^.2
равна 0,92, а вероятность появления т<4 равна 0,981. Отметим, что эти
вероятности согласно (5.24) не зависят от М. И поэтому при М^ 1 уровни
ВКФ (5.10) должны быть малыми.
Если полезный и мешающий сигналы перекрываются частично, то в этом случае
на выходе согласованного фильтра будет иметь место апериодическая ВКФ. На
рис. 5.2 изображено совместное расположение двух частично перекрывающихся
ДЧ сигналов первого порядка: сигнал А (левая штриховка) опережает сигнал
В (правая штриховка) на два элемента. Перекрытие сигналов возможно только
в прямоугольнике АВ, выделенном толстой линией. При перекрытии сигналов А
н В, изображенном на рис. 5.2, имеет место одно совпаде-
135
иие (квадрат с совпадающими штриховками). Допустим, что временной сдвиг,
кратен длительности элемента Дt, т. е. т=яД<, где п - целое число,
удовлетворяющее условию |"|=0, М, где М - число элементов в ДЧ сигнале.
При п=О
имеем случай периодической ВКФ, при \п\=М сигналы не перекрываются. Так
как п полностью характеризует временной сдвнг, то в дальнейшем будем
оперировать только с п.
Доказано [5], что вероятность т совпадений прн временном сдвиге п
f
F
АВ
в
PM.n ("*) = "! DMmn/Ml, t где неполный субфакториал [5]
(5.26)
Рис. 5.2. Частичное совпадение ДЧ сигналов
D
М, О, п
АП
п\
1-
г* 1
"М-п
Г2
^М-п
М'
-]¦
(5.27)
М 1 М(М- 1)
Прн п=0 правая часть формулы (5.27) совпадает с определением субфак-
торнала (5.21).
Для неполного субфакторнала справедливо соотношение
= С7}D,
D.
JМ, т, ti п М-т, 0, п"
где DM-m,о.п определяется согласно (5.27).
Если сдвиг п небольшой (n^:0,6Af), то вероятность совпадений (5.26)
(5.28)
рлм ("О
"М-п
1
'М-п
'М
ml е
(5.29)
-м
где Рм(т) определяется согласно (5.24). Более точное приближение для
больших п обеспечивает следующая формула для вероятности совпадений:
рм. П (") ~ °М т" (1 + ~7Г~~ )
' с% \ М-т 1
рм (т>.
(5.30)
Но формула (5.30) будет справедлива лишь при т<М.
5.3. Алгоритмы построения оптимальных и квазиоптпмальных систем ДЧ
сигналов
Алгоритмы построения оптимальных и квазиоптимальных систем ДЧ сигналов
приведены в [6]. Они были получены на основе теории чисел. В табл. 5.3
приведены алгоритмы построения последовательностей {oj(v)},
удовлетворяющих сравнению (5.17). В табл. 5.3 приведены правила
образования последовательностей {a,- (v)}; ограничения, налагаемые на
определенные коэффициенты; объем системы и оценка ВКФ.
В первой строке табл. 5.3 число а - первообразный корень по модулю
простого числа М+1. Все остальные правила основаны на степенных
