Системы связи с шумоподобными сигналами - Варакин Л.Е.
Скачать (прямая ссылка):
соответствие кодовые последовательности (a(v)}, (Ь(v)}, символы которых
a(v) и 6(v) принадлежат аддитивным р-ичным группам. При р=2 символами
последовательностей (Л (v)}, (C(v)} являются 1 н -1, а символами
последовательностей (a(v)}, {6 (v)}-0 и 1 Образование КФ сводится к
перемиоже-
нию символов A(v) и В (у), где *-знак комплексной сопряженности с
последующим суммированием. При переходе к символам a(v), fc(v) КФ
определяется через разности этих символов по mod р.
Для построения циклической системы ФМ сигналов надо выбрать кодовые
последовательности (c(v)}, {b(v)}, обладающие следующим циклическим
свойством: разность по mod р кодовой последовательности {a(v)} и ее
циклической перестановки {a(v-)-p)} является другой циклической
перестановкой (a(v-)-X)} исходной кодовой последовательности, т. е.
{a (v)} - (av + p) = {a (v + X)}, (4.85J
где XgfeO и Xgfep (modp). Циклические перестановки получаются так:
исходная кодовая последовательность (a(v)}, где v=0, N-1, продолжается
периодически, т. е. записывается в виде бесконечной последовательности
... а(М-2), a(N-1), a(0), a(l) ... fl(v), ..., a(p), ..., a(N-2), a(N-
il), a(0), a(l) ...
Исходная последовательность (a(v)} начинается с символа a(0) и
заканчивается символом a(N-1). Циклическая перестановка (a(v+p)}
начинается с символа а(р) при v=0 и заканчивается символом a(p+N-1) при
v=N-1.
Аналогично (4.85) определяется циклическое свойство последовательности
{6(v)}, а именно:
(6 (V)} - (6 (V + р)} = {Ъ (v + X)) . (4.86)
Равенства (4.85), (4.86) выполняются для М-последовательностей в
соответствии с аддитивно-циклическим свойством и для последовательностей,
построенных по правилу
a (v) мз av (mod р), (4.87)
где a - первообразный корень уравнения xN-1=0,
p = N+1 (4.88)
и является простым числом, v=l0, N-,1. Для последовательностей вида
(4.87) a (v)-a (v-fp) =av(l-ац), (4.89)
р = 1, N - 1,
Так как о - первообразный корень, то 1 =o°=alv и поэтому аФ 1 при
р=
= 1, N-1. Следовательно, 1-ад=сД, где Хд?р, и из (4.89) имеем
о (v)-a (v + р) = a vaA = av+A = a (v -f- X), (4.90)
что н определяет равенство (4.85). Пусть последовательности (a(v))
н (6 (v)}
обладают циклическим свойством (4.85), (4.86). Циклическая система [17]
состоит из последовательностей (cj(v)}, где j-0, N-1, символы которых
определяются равенством
С1 (v) - а (у)-Ь (v -{- /), (4.91)
118
v=0, JV-1. Каждая последовательность циклической системы равна разности
между последовательностью (a(v)} и циклической перестановкой {b (v+/)} т.
е.
{с} (v)} "и {a (v)}- (b(v + j)}- (4.92)
Можно доказать, что последовательности системы (4.92) являются
симплексными. Отметим, что циклические системы являются производными, так
как система последовательностей {6 (v+/)} является исходной, а
последовательность (o(v)}-производящей.
Корреляционные функции циклических систем. Поскольку символы Cj
последовательностей (cj(v)} относятся к мультипликативной группе, то
взаимо-корреляционная функция (ВКФ) определяется следующим образом:
1 ^ ~ ^ / 2я ^
Rjh W = ~ТГ 2 ехр 1 ' Iе* (v + ^1 • (4'93*
N 1 P }
Используя свойства образующих последовательностей (a(v)}, (6(v)} (4.85),
(4.86) и определение (4.91), запишем
Ч (v + X) -ck (v) = a (v -f X) - 6(v + ; + >.) - a (v) -f b (v -f- k) =
=a(v, X)-b, (v, X, j, k) modp, (4.94)
где o(v, X), b(y, X, j, k) -некоторые циклические перестановки
образующих по-
следовательностей.
Обозначим периодическую ВКФ образующих последовательностей (4.94)
1 N~1 г 2л Л
• ехр ' - [° (v+*¦)"-fc.(v)U- (4-95>
N [ Р J
а периодическую ВФН
I N I - 2я / Я О V \
Q(h, Р) = - У, ехр {i -la(v + h) - b(v)]j exp^i J, (4.96Ь
где р определяет дискретные значения доплеровской частоты.
Известна оценка ВКФ сигналов циклической системы ,[5]:
Rmax (X) ^ max |Q (X) | -|- max |Q (X, р) | 6, ' (4.97>
Я Я. Р
где
б = In N-~~ 1п ^2 ] -f- 1) * (4-98>
Для построения системы минимаксных сигналов (у которых максимальные пики
минимальны) необходимо, чтобы периодические ВКФ и ВФН образующих сигналов
имели малые боковые пнки. В общем случае регулярного метода построения
таких сигналов нет.
Для двоичных М-последовательностей (р=2) известен метод Голда [17, 40],
позволяющий выбирать пары образующих ^-последовательностей. Этот метод
основан на выборе последовательностей в соответствии со свойствами
многочленов. Каждой ^-последовательности длины N='2n-1, где п - некоторое
целое число, соответствует свой неприводимый многочлен степени п.
Неприводимым называется такой многочлен, который не может быть
представлен в виде произведения многочленов с меньшими степенями. Каждому
корню
119
многочлена степени п может быть поставлен в соответствие элемент поля
Галуа CF(2") (кодовая последовательность полного кода длины п, за
исключением элемента, состоящего из одних нулей). Всего ненулевых
элементов имеется 2"-1. Корень а, все степени которого а0, а1, а2 а2"_1
= ао дают различные элементы поля, называется первообразным илн
