Системы связи с шумоподобными сигналами - Варакин Л.Е.
Скачать (прямая ссылка):
воспользоваться этим, преобразуем комплексную огибающую ДЧ сигнала,
используя временную кодовую последовательность (ВКП) (vj(y)}, к
следующему виду:
ЛГ-1
НД0 = а, (у) Ф [f-v, (у) A t] ехр (i уД о t). (5.3)
у-0
В формуле (5.3) линейно меняется смещение по частоте в соответствии с
изменением у = 0, N-1, а изменение аргумента у элемента Ф(<) происходит в
соответствии с изменением ВКП {vj(v)}> символы которой изменяются в тех
же пределах от 0 до М-1, но в определенном порядке. Например, для ДЧ
сигнала, изображенного на рис. 5.1, ВКП {v,(у)} =073106295184.
Формулы (5.1), (5.3) и определяют частотно-временную дуальность ДЧ
сигналов: в (5.1) отсчет производится по времени (по номерам дискретов
v), а в (5.3) - по частоте (по сдвигу частоты, пропорциональному у).
Используя определение ФН /?ф (т, ?2) элемента Ф(/) и условие '(5.2),
можно получить ВФН сигналов (5.1), (5.3). Полагая ?2 = 0 и учитывая
предположения, сделанные при определении комплексных огибающих (5.1),
(5.3), находим, что ВКФ ДЧ сигнала с ЧКП (5.1)
, М- 1 М-1 *
Rjh М = - j] 2 а} (v) ah (р) /?ф{(тф (р-v)A t,
т v=0 ц=0
lYj(v)-y*(p)!Afo}, (5.4)
а ВКФ ДЧ сигнала с ВКП (5.3)
. М-1М- 1 ,
S а> (Y)ah (I) РФ {Т+ [V, (?)-v, (у)] A t, (y-I)Ato}.
Л* v=0 |=0
(5.5)
Рассмотрим ВКФ (5.4), (5.5) в дискретных точках, полагая т = ЯД t. (5.6)
Подставляя (5.6) в (5.4), (5.5), получаем:
М-1 М-1
1 т-1 т-1 *
RJh(k) = - 2 ^ а} (v) ak (р) Рф {(Я + р-v) М, [уу (v)-ук (р)] Д to};
(5.7)
2И v=o ц=о
Анализ ВКФ (5.7), (5.8) .существенно упрощается, если использовать
условия ортогональности элементов, которые сводятся к тому, что различные
элементы не перекрываются во времени, а их спектры .не перекрываются по
частоте. Отметим, что такие условия не могут выполняться одновременно,
так как спектр функции, ограниченной по длительности, имеет
неограниченную ширину. Но для простоты анализа будем считать, что условия
ортогональности имеют место. Поэтому положим, что в дискретных точках
частотно-временной плоскости для ФН элемента Ф(?) выполняются условия
ортогональности, а именно:
RMAt, <7Дсо) = (1 ПрИ/,= °' '? = 0, (5.9)
(О при остальных значениях р и q.
Используя условия ортогональности (5.9) и полагая |a/(v) | = = |од(р)| =
1, из (5.7), (5.8) получаем оценку модуля ВКФ в дискретных точках
\RJh(k)\ (5.10)
где т - число решений следующих систем уравнений:
г, }= Х + '1т~1'(У) =0 }. (5.11); (5.12)
yj(v)-\h (и>)= о J у-?=0 J
Система (5.11) соответствует ВКФ (5.7), а система (5.12) - ВКФ (5.8). В
этих системах Я изменяется от -М до М, a v, р, у, ? = 0, М-1. Используя
одно из уравнений систем (5.11), (5.12) можно свести эти системы к
уравнениям:
V/(v)-Yft(v-Я) = 0; X] (у) - vfe (у) Я = 0. (5.13), (5.14)
Число решений целочисленных уравнений (5.13), (5.14) меньше числа решений
соответствующих сравнений по модулю М:
У) (v)-Vk (v-Я) = 0 (mod М); v7- (у) -vh (у)-Я==0 (mod М).
(5.15), (5.16)
Сравнения (5.15), (5.16) являются частными случаями сравнения
aj (v)-ah (v - p)-Я = 0 (mod M), (5.17)
где v=0, M-1, Я=0, M-1, p=-M, M.
Если сравнение (5.17) имеет rh решений, то оценка (5.10) преобразуется к
следующей
|ЗДЯ)| <т/М, С518)
причем fh^m. Если т = 0, то формально |/?^(Я) | =0, но это будет в том
случае, если всюду выполняется условие ортогональности (5.9). Но так как
строгой ортогональности во всех дискретных точках добиваться нельзя, то
при /гг=0 |/?д, (Я) | -С 1/М.
Поскольку последовательности {а,} и {а/,} состоят из символов,
принадлежащих к одному алфавиту (0, 1, ..., М-1), то при изменении
номеров v, р, Я рано или поздно возможно совпадение
133
кодовых последовательностей, т. е. возможно решение совпадения (5.17).
Если при данных v, р, Л, /, k имеет место одно решение (одно совпадение),
т. е. m= 1, то | Rjh (Л.) | = 1/М. Увеличение числа решений, во-первых,
увеличивает максимальный уровень ВКФ согласно (5.18), во-вторых, ухудшает
использование отведенной полосы частот для сигнала (5.1) с ЧКП, так как
спектры некоторых элементов будут совпадать (ухудшает использование
отведенного времени и пик-фактор сигнала (5.3) с ВКП, так как будут
совпадать некоторые элементы); в-третьих, увеличивает число сигналов (r)
системе. Именно третье следствие позволяет строить большие системы
сигналов, но при условии т>1. Назовем ДЧ сигналы, обеспечивающие одно
совпадение т=1, оптимальными.
5.2. Распределение числа совпадений в корреляционных функциях ДЧ
сигналов
Число совпадений элементов т в ДЧ сигналах согласно (5.10) определяет ВКФ
таких сигналов в дискретных точках. Сначала рассмотрим случай, когда два
ДЧ сигнала (полезный и мещающий) полностью перекрываются по времени. Прн
этом число совпадений т может изменяться от 0 до М. Полное перекрытие
двух сигналов возможно, когда между полезным и мешающим сигналом нет
временного сдвига или когда каждый нз сигналов излучается непрерывно
(периодически). При этом на выходе согласованного фильтра будем иметь
периодическую ВКФ. Перейдем к распределению числа совпадений.
