Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
а Ь ‘
т. е. уравнение плоскости, параллельной оси Ог.
3°. Если сила F пересекает ось Ох или ей параллельна, то момент натяжения относительно этой оси для всех точек нити имеет постоянную величину.
17*
260
Часть третья. Статика
Действительно, имеем
у(Т~() — z (ГР) = const.
206. Интегрирование уравнений равновесия.—Заменим в уравнениях (3) величины а, |3, f их значениями
dx dy dz
ds’ ds’ Us’ тогда получим три дифференциальные уравнения второго порядка относительно функций х, у, z и первого порядка относительно Т, которые, в соединении с условием
и позволят определить четыре неизвестные х, у, z и Т как функции от s. Интегрирование уравнений введет шесть постоянных, которые позволят выбрать произвольно начальные значения величин х, у, г, Т и двух первых производных (из трех) от х, у, г (т. е. выбрать точку прикрепления, направление нити и натяжение ее в этой точке). Однако решение будет годиться лишь в том случае, если натяжение Т нигде не получит отрицательных значений, так как нить не оказывает сопротивления сжатию.
В действительности, при решении задач чаще всего приходится удовлетворять условиям на концах, отличным от высказанных начальных условий, однако при выполнении интегрирования эти последние оказываются наиболее естественными и удобными.
207. Внутренние, или естественные уравнения равновесия нити.—Выполним дифференцирования, указанные в равенствах (3), и воспользуемся формулами Френе:
da л dB
ds р I ds
z. h
В ’ ds
Глава VIII. Геометрическая статика
261
где k, p., v суть направляющие косинусы главной нормали к кривой, представляющей собой фигуру равновесия нити, а р есть радиус кривизны нити. Получим:
+*=0, ds 1 р 1
P-iT+r7 + r = 0'
dT,„4.
7 + z = °-
Направим ось Ох по касательной (поэтому а=1, (3 = 7 = 0), ось Оу — по главной нормали (поэтому к — 0, [1=1, v = 0). Пусть Ft, Fn, Fb—проекции силы F на касательную, главную нормаль и бинормаль; предыдущие уравнения приведутся в этом случае к виду
^+^=0, у+ /4 = 0, Fb= 0.
Эти уравнения называются естественными уравнениями равновесия нити.
Последнее из них показывает, что в каждой точке нити сила, приложенная в ней, лежит в соприкасающейся плоскости к кривой, представляющей собою фигуру равновесия.
Если сила нормальна к нити, то Ft = 0, и первое уравнение показывает, что натяжение остается постоянным по всей длине нити.
Если сила направлена по нити, то второе уравнение
дает -i- = 0: нить принимает форму прямой линии, что очевидно a'priori.
208. Нить на поверхности. — Пусть нить натянута на абсолютно гладкой поверхности, с которой она не может сойти, и пусть она находится только под действием нормальной реакции поверхности. Эта реакция есть един-твенная сила, приложенная: к точкам нити, она непрерывно
262
Часть третья. Статика
распределена вдоль нее. На основании сделанного в предыдущем nJ замечания, реакция лежит в соприкасающейся плоскости к кривой, представляющей собой фигуру равновесия нити. Следовательно, главная нормаль к этой кривой есть в то же время нормаль к поверхности.
Кривые на поверхностях, обладающие этим свойством, носят название геодезических линий. Отсюда имеем следующую теорему:
Если нить натянута на абсолютно гладкой поверхности и не подвергается действию никаких других непрерывно распределенных сил, кроме реакции поверхности, то фигура равновесия нити представляет собой геодезическую линию поверхности.
Эта теорема в наглядной форме выражает то обстоятельство, что геодезические линии имеют наименьшую длину по сравнению со всеми прочими кривыми, проведенными на поверхности между какими-нибудь двумя ее точками.
209. Равновесие тяжелой нити. — Рассмотрим тяжелую однородную нить, подвешенную к двум неподвижным точкам А и В, и определим форму, которую она принимает, находясь под действием только силы тяжести. Так как в этом случае сила направлена по вертикали, т. е. параллельна неподвижной прямой, то фигура равновесия будет лежать в вертикальной плоскости (п° 205, 2°). Примем эту плоскость за плоскость ху, тогда число уравнений равновесия сведется к двум.
Проведем ось л; горизонтально и ось у вертикально в сторону, противоположную направлению силы тяжести. Пусть р есть вес единицы длины нити; его составляющие по осям будут: ЛГ=0, У =—р. Пусть Т есть величина натяжения нити; тогда уравнения равновесия запишутся: d{Ta) _ dm _ ds ’ ds или, если обозначить через ® угол наклона касательной к оси х:
d (Тcos 9) п dfrsincp)
-V^=0> -L5ГJ==/,•
Глава VIП. Геометрическая статика
263
Первое уравнение показывает, как мы это уже знаем (п° 205), что Тcos о есть постоянная величина. Обозначим ее через ар, так что
Т cos » = ар.
Подставляя полученное отсюда значение Т во второе уравнение, будем иметь
