Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
196. Равновесие нити. Натяжение. — Найдем сначала условия равновесия отдельной нити. Для этого предположим, что система материальных точек, о которой шла
Глава VIII. Геометрическая статика
217
речь выше, сводится только к двум точкам и М2, находящимся соответственно под действием сил Fx и (фиг. 33). Равновесие может иметь место лишь в том случае, если силы Fl и Fa образуют систему, эквивалентную нулю, т. е. если они равны и прямо противопо* ложны. Но так как нить не сопротивляется сжатию, то необходимо, чтобы силы ее растягивали; в этом случае мы допускаем, что равновесие осуществлено. Если бы обе силы были ориентированы в обратные ?_____________м> А В м2 Fz
стороны, то равновесие могло бы иметь Фиг. 33.
место лишь при условии замены нити твердым стержнем, т. е. неизменяемым телом.
Предположим, что нить М.2 находится в равновесии. Возьмем на нити точку А (фиг. 33) и выделим мысленно часть МХА. Эта часть находится в равновесии под действием силы FL, приложенной в М{у и под действием оставшейся части нити AiИ2. Это последнее представляет собой, следовательно, силу, равную и прямо противоположную Fl. В то же время часть АМ3 нити подвергается со стороны М{А действию силы, равной и прямо противоположной F.2.
Эти действие и противодействие, которые две части нити МХА и АМг оказывают друг па друга в точке А, носят название натяжения нити в этой точке; натяжение остается таким же во всякой другой точке В нити. Обозначим через TVi действие, испытываемое частью МуА, и через Т91—действие, испытываемое в той же точке частью нити М2А, так что
712 = ^21-
197. Равновесие веревочного многоугольника.—-
Для равновесия веревочного многоугольника необходимо и достаточно, чтобы каждая из его вершин находилась в равновесии под действием прямо приложенной силы
248
Часть третья. Статика
и натяжения нити или нитей, оканчивающихся в этой вершине.
Крайние вершины и М„ будут в равновесии:первая,— под действием сил Fx и Т1Я, вторая—под действием сил
и ^л.п-1•
Промежуточная вершина Мк будет в равновесии под действием сил Fk, ТкЛ^ .
Условия равновесия выражаются соответственно векторными уравнениями:
4~ ^i2= Ft 4“ т*,л—14“ т*,*-и = о> Рп~\~ т„,п-1 — О-
Проверка этих условий выполняется при помощи очень простого геометрического построения, известного под названием многоугольника Вариньона.
198. Многоугольник Вариньона. — Начиная от произвольной точки А (фиг. 34), строим векторы FltFa,- •Fn, проводя каждый последующий из конца предыдущего.
Е
Мы получаем таким способом многоугольник прямо приложенных сил; этот многоугольник в случае равновесия должен быть замкнутым, так как результирующий вектор должен быть равен нулю.
Глава VIII. Геометрическая статика
249
Рассмотрим первую сторону AF1 и последовательные диагонали AF^AF^,AFi ... ; эти векторы представляют собой по величине и направлению последовательные натяжения 7'oi,7'32,743,..так как замкнутость двойного отрезка AFtA и треугольников AF1FSA, AFqFaA, AF3F4A, ... показывает, что геометрические равенства, написанные в конце предыдущего п°, удовлетворяются.
Для равновесия веревочного многоугольника достаточно, чтобы его стороны MyM2, МдМ3, ... были соответственно параллельны натяжениям полученным ука-
занным способом, т. е. параллельны соответствующим диагоналям силового многоугольника, и чтобы ориентация этих сил отвечала действительно имеющемуся натяжению нитей, а не сжатию. В самом деле, в этом случае каждая сторона многоугольника будет в равновесии, так как она находится под действием двух равных и прямо противоположных сил, приложенных к ее концам.
Если бы сторона многоугольника подвергалась сжатию, то равновесие могло бы иметь место лишь при условии, что нить заменена твердым стержнем.
199. Условия на концах. — Может случиться, что силы, действующие на промежуточные вершины веревочного многоугольника, заданы, крайние же вершины подчинены условиям различного характера, которые называются условиями на концах. В этом случае задача заключается в определении фигуры равновесия и реакций в точках закрепления, если таковое имеет место. Мы рассмотрим лишь два наиболее простых случая.
1°. Концы свободны и находятся под действием дан^ ных сил. — В этом случае задача решается способом, указанным в предыдущем п°. Даны все силы, многоугольник этих сил должен быть замкнутым, чтобы равновесие было возможно. Натяжение сторон, а вместе с этим и направления их определяются диагоналями многоугольника Вариньона. Веревочный многоугольник, таким образом, может быть построен.
250
Часть третья. Статика
2°. Конец Мх прикреплен к неподвижной точке, другой конец Мп свободен и находится под действием данной силы Fn. Неизвестная реакция в неподвижной точке Fl должна образовать вместе с другими силами замкнутый многоугольник. Она оказывается, таким образом, известной. Мы приходим к предыдущему случаю. Веревочный многоугольник строится начиная с неподвижной точки
