Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
А
часть АВ) далее, из подобия треугольников КГ1 и ВГА заключаем, что Г1 есть третья часть АГ. Следовательно, центр тяжести объема тетраэдра лежит на отрезке, соединяющем любую вершину тетраэдра с центром тяжести противоположной грани, на расстоянии трех четвертей длины этого отрезка от вершины.
Заметим еще, что прямая, соединяющая середины Н и L двух противоположных ребер (фиг. 38) есть пересечение диаметральных плоскостей, проходящих через эти ребра, она также проходит через центр тяжести тетраэдра. Таким образом, три прямые, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в его центре тяжести.
Пусть Н и L—середины одной пары противоположных ребер (фиг. 38) и М, N—середины двух других противоположных ребер. Фигура HNLM есть параллелограм, стороны которого соответственно параллельны остальным
Глава IX. Центр тяжести
277
двум ребрам. Прямые HL и MN, соединяющие середины двух противоположных ребер, суть диагонали этого параллелограма, а значит, они в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, центр тяжести тетраэдра лежит в середине отрезка, соединяющего середины двух противоположных ребер тетраэдра.
224. Пирамида с многоугольным основанием.—
Центр тяжести пирамиды лежит на отрезке, соединяющем вершину пирамиды с центром тяжести основания на расстоянии трех четвертей длины этого отрезка от вершины.
Чтобы доказать эту теорему, разложим пирамиду на тетраэдры плоскостями, проведенными через вершину пирамиды и через диагонали основания ABCD . . .
(например BD на фиг. 39).
Проведем плоскость abed . . . , пересекающую ребра на расстоянии трех четвертей их дли- ^
ны от вершины. Эта плоскость фиг 39
содержит центры тяжести тетраэдров, а следовательно, и пирамиды. Массы тетраэдров, которые мы предполагаем сосредоточенными в их центрах тяжести, пропорциональны их объемам, следовательно и площадям из оснований BAD,BCD,.. . (фиг. 39) или также площадям треугольников bad, bed,..., подобных предыдущим и расположенным в секущей плоскости abed... Таким образом, искомый центр тяжести совпадает с центром тяжести многоугольника abed. Последний же лежит на прямой, соединяющей вершину 5 пирамиды с центром тяжести (подобно расположенным) многоугольника основания.
225. Призма. Цилиндр. Конус. — На основании симметрии, центры тяжести призмы и цилиндра лежат на середине отрезка, соединяющего центры тяжести оснований.
278
Часть третья. Статика
Рассматривая конус, как предел вписанной в него пирамиды с той же вершиной, убеждаемся, что центр тяжести конуса лежит на отрезке, соединяющем вершину конуса с центром тяжести основания, на расстоянии трех четвертей длины этого отрезка от вершины. Можно также сказать, что центр тяжести конуса совпадает с центром тяжести сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и проведенной на расстоянии одной четверти высоты конуса от основания.
§ 4. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ.
ТЕОРЕМЫ ГЮЛЬДЕНА
226. Центр тяжести поверхности вращения.— Рассмотрим поверхность вращения, образованную вращением дуги плоской кривой АВ вокруг оси, лежащей в ее плоскости, примем ось вращения за ось Ох. Центр тяжести, очевидно, лежит на этой оси, являющейся осью симметрии; остается, следовательно, только определить положение центра тяжести на оси.
Проведем ось Оу перпендикулярно к Ох в плоскости кривой. Пусть х0 н хх — абсциссы концов А и В дуги АВ, и
У —f(x)
— уравнение кривой.
Пусть S—площадь поверхности вращения, dS— бесконечно малый элемент поверхности с абсциссой х. Абсцисса \ искомого центра тяжести определяется общей формулой (п° 216):
= J [xdS.
'8
Сначала можно просуммировать все элементы dS, имеющие одну и ту же абсциссу и заключенные между двумя плоскостями, перпендикулярными к Ох, с абсциссами х и x-\-dx. Эти плоскости вырезают на дуге АВ элемент ds а сумма рассматриваемых элементов dS равна поверхности, образованной вращением элемента ds кривой, им?ющего?
Глава IX. Центр тяжести
279
ординату у. Эта поверхность представляет собой полосу шириной ds и длиной 2ку; ее площадь равна поэтому 2r.yds. После этого остается лишь просуммировать по всем элементам ds, и формула приобретает вид:
С другой стороны, площадь 61 равна сумме площадей 2ку ds всех полос:
Применим эти формулы к частному случаю.
227. Сферический пояс. — Сферическим поясом называют часть поверхности сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями. Сферическийпояс представляет собой, следовательно, поверхность, образованную вращением, дуги АВ окружности вокруг диаметра Ох. Его площадь и центр тяжести определяются поэтому предыдущими формулами.
Пусть а — радиус, тогда уравнение окружности будет
S? = 2тг J ху ds = J ху ~ dx.
S
отсюда
xdx -\-у dy = 0, dy = — ~dx,
