Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
ad(tg's) = ds. (1)
Заменяя tg<p через у', и ds через dx ]/1 -f-у'2, получим дифференциальное уравнение линии равновесия нити
dy' ____ dx
ут+у^ а '
Разделяя переменные и интегрируя, мы получаем
W + VTT7*)- *~С
а
х~С х — С
т1
вторичное интегрировтние дает
-о х - о
2 >а
у' — —е а —е а ) ; (2)
Таким образом, фигура равновесия есть цепная линия, ось которой вертикальна. Этот результат принадлежит Гюйгенсу.
В уравнения (2) и (3) вошли три постоянные интегрирования: а, С и CY. Для их определения необходимо иметь три условия на концах.
Два первых выражают то, что кривая проходит через данные точки А и В; в качестве третьего условия можно взять, например, то, что дуга кривой между точками А и В должна иметь данную длину, а именно, длину нити.
Определение цепной линии. — Выберем именно эти условия. Пусть х0, yQ—координаты точки A; xv ух — коор-
264
Часть третья. Статика
динаты точки В, и 21— длина нити. Каково бы ни было положение начала координат, мы можем положить
х\ — x0 — 2h, y1—y0 = 2k,
где h и k — две заданные постоянные величины, зависящие лишь от относительного положения точек А и В\ первую из них h мы всегда можем считать положительной.
Постоянные С и С] зависят от положения осей координат. Расположим оси так, чтобы эти постоянные обратились в нуль, так что задача приводится к определению положений-точек А и В относительно осей. Уравнения (2) и (3) принимают вид:
tg'f = "2 (*“ —е °)> (4)
/а? х \
2ТТ + е У’ (5)
а уравнение (1) после интегрирования от А до В дает
a(tg®i— tg?o) = 2/- (6)
Замениму0 и ух в уравнении ух —у0 — 2k их значениями (5), потом tg»! и t^©0 в уравнении (6) их значениями (4); получим
/ 3 _3\ / 3 _?°\
~ 2 \e° 4” с а)—2\еа+е °)>
2k-
(.rt хЛ
е*-е J
Складывая и вычитая эти уравнения, будем иметь
ач а?0 х0 / 2h
I Xj
I еа я, 6}
х„ / 27»_ \
* _lj ,
„ ,, .. ха a-i х„ 1h
2 11 —k) — —¦ — —
—i-------------------------------и — e a — e a = e [
a
умножая почленно уравнения (7), получим
h ft \ 2
№ \ “JJ
(7)
4 (Z2 №) _,e
2*
Глава VIII. Геометрическая статика
265
Получилось трансцендентное уравнение для определения величины а и, следовательно, уравнения (5) цепной линии. ¦
Если для упрощения записи положить А : а — и, то последнее уравнение можно представить в виде
/2_?2 _ /
Л2 ~\ 2и J ¦
Правая часть возрастает от 1 до оэ, когда и изменяется по абсолютному значению от 0 до оо. Поэтому решение получится лишь в том случае, когда левая часть больше 1. В этом случае уравнение даст для и два корня с противоположными знаками. Выберем из них положительный, который дает и для а положительное значение.
Действительно, величина а должна быть положительной, чтобы цепная линия была обращена своей выпуклостью вниз и чтобы нить была натянута. Задача допускает поэтому одно и только одно решение, если имеет место неравенство
/2>?2-f Л2,
выражающее тот факт, что длина нити больше расстояния между двумя точками Л и Б. В самом деле, когда величина а найдена и цепная линия этим определена, то одно из уравнений (7) даст л:0, после чего имеем = х0 -f- 2Л, а значения у0 и ух определяются уравнением (5). Таким образом, положения точек А и В цепной линии относительно осей координат найдены, и задача решена.
ГЛАВА IX
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ
210. Определение центра тяжести системы материальных точек. — Рассмотрим систему материальных точек Ми М2, ...,Мп. Обозначим через тк массу и через xic, Уы zu — прямоугольные или косоугольные координаты точки Мк.
Приложим к каждой из точек Мк вектор величины тк и направим все эти векторы параллельно друг другу в одну сторону.
Центр этих параллельных векторов есть точка Г, не зависящая от направления векторов, координаты ее ij, y], С определяются формулами
М = . Ml = 2m* xk, М'Ц = 2 ЩУи,
ЖС = 2«й^, 0)
где М есть общая масса системы, а суммирование распространяется на все точки системы.
Точка, определенная уравнениями (1), называется центром тяжести системы.
Три уравнения системы (1), определяющие S, ¦»], С, очевидно, могут быть соединены в одно векторное уравнение. Если обозначим через rk векторную координату точки Mj, и через Г векторную координату центра тяжести, то это векторное уравнение получит вид:
