Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
После определения усилий в крайних стержнях переходят к определению усилий, испытываемых стержнями, общими для двух треугольников системы. Здесь возможны два случая.
1°. Сторона, подобная ас, разделяет два треугольника, у которых внешние стороны встречаются на ас, в точке с.
Глава VIII. Геометрическая статика
257
Тогда усилие, производимое стержнем ас на эту точку, известно, так как оно уравновешивает внешнюю силу, приложенную в этом узле, и действия двух, внешних стержней Ьс и dc, уже вычисленные.
2°. Внутренняя сторона, подобная ad, отделяет два треугольника, внешние стороны которых оканчиваются на двух противоположных концах стороны ad. В этом случае стержневую систему делят на две части S' и S", мысленно разрезая три стержня ае, ad и dc. Из всех внешних по отношению к части S' сил остается неизвестным только усилие в стержне ad, так как усилия в двух других стержнях уже вычислены. Поэтому усилие, производимое стержнем ad, равно и противоположно равнодействующей всех других сил.
Замечани е.—В последнем случае можно одновременно определить усилия в трёх стержнях ае, ad и dc, так как они уравновешивают силы, прямо приложенные к S'. Сначала можно привести эти приложенные силы к двум силам, проходящим через точки а и d (п° 185); тогда первую можно разложить по стержням ad и ае, вторую — по стержням ad и dc, наконец, силы, действующие по ad, заменить одной силой, и задача, таким образом, решена. Решение задач такого рода приводит к изящным построениям, составляющим предмет графической статики,
§ 7. РАВНОВЕСИЕ НИТЕЙ *)
205. Уравнения равновесия. — Мы будем рассматривать условия равновесия гибкой и нерастяжимой нити, находящейся под действием непрерывно распределенных сил. Сечение нити будем предполагать настолько малым, что им можно пренебречь. Обозначим через s длину нити, отсчитываемую от некоторой начальной точки А в определенную сторону (от А к В), и допустим, что внешние
*) Этот вопрос не входит в область геометрической статики в том виде, в каком мы ее здесь определили, но он очень тесно связан с предыдущими задачами.
17 За®. Ж 8.
258
Часть третья. Статика
силы, приложенные к элементу дуги ds, могут быть приведены к одной силе, приложенной в некоторой точке этого элемента. Обозначим эту силу через Fds, а ее проекции на три прямоугольные оси — через
так что F представляет собой величину силы, отнесенной к единице длины.
Будем рассматривать нить АВ, находящуюся в равновесии, и выделим мысленно часть ее AM от конца А до некоторой точки М. Эта часть нити находится в равновесии под влиянием приложенных к ней внешних сил и усилия, действующего на нее в конце М со стороны оставшейся части MB. Это усилие может быть заменено силой Т, приложенной в точке М и способной удержать нить натянутой, а потому направленной по касательной к нити в сторону возрастающих дуг.
Чтобы часть AM нити была в равновесии, необходимо, чтобы результирующая сил, приложенных к ней, была равна нулю. Эти силы следующие: натяжение Т, приложенное в М, натяжение в начальной точке А, направленное в обратную сторону по нити (т. е. — 7^), и, наконец, сумма всех внешних сил вида Fds, приложенных ко всем элементам ds отрезка нити AM. Получаем соотношение
Эго есть векторное уравнение равновесия нити. Оно выражает, что каждый элемент ds нити, рассматриваемый как материальная точка, находится в равновесии. Поэтому и вся нить в целом будет в равновесии. Нетрудно было бы убедиться в том, что условие равновесия, относящееся
X ds, У ds, Z ds,
(1)
О
Дифференцируя (1) по 5, получим
(2)
Глава VIII. Геометрическая статика
254
к моментам сил, осуществляется для нити одновременно с предыдущим уравнением.
Пусть а, (3, ¦у — направляющие косинусы касательной в точке М кривой, представляющей фигуру равновесия нити. Проектируя соотношение (1) на три оси, получим
8
7а — Т0х0 -j- J Xds = О
о
и два другие аналогичные уравнения; дифференцируя эти уравнения по s, будем иметь
-Р+х-о, Ш- + 2=0, (3)
т. е. три алгебраические (или скалярные) уравнения равновесия нити.
Из них можно вывести несколько интересных следствий: 1°. Если сила F для всех точек нити перпендикулярна к одной из осей, например, к оси Ох, то проекция Та натяжения нити на эту ось постоянна.
В самом деле, из равенства Х = 0 следует Та = const. 2°. Если сила F параллельна некоторой неподвижной прямой, например, оси Oz, то нить лежит в плоскости, параллельной этой прямой.
Действительно, из предыдущего следствия имеем
Та = const. = а, 7^ = const. = b;
кроме того, а: |3 = dx: dy, откуда “ = 'у-Интегрируя последнее равенство, найдем, что
