Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
МГ=2т*г*- С1')
Определение центра тяжести предполагает, как мы видим, введение определения массы, и вследствие этого теория
Глава IX. Центр тяжести
267
центра тяжести относится столько же к динамике, сколько и к статике. Между тем, само название «центр тяжести» выражает статическое свойство этой точки, имеющее место лишь при весьма ограничительных условиях: рассматриваемое тело должно быть сравнительно небольших размеров и находиться под действием силы тяжести на поверхности Земли.
Действительно, при этом предположении можно допустить, что ускорение g силы тяжести постоянно, так что вес р материальной точки связан с ее массой m формулой
P~ mg.
Эта формула показывает, что веса пропорциональны массам. Центр тяжести твердого тела совпадает поэтому с центром параллельных векторов, изображающих веса всех точек тела, действие же тяжести на тело сводится к полному весу тела, приложенному в его центре тяжести, согласно теории приведения параллельных сил, приложенных к твердому телу (п° 188).
211. Определение центра тяжести при помощи статических моментов. — Уравнениям (1) можно дать геометрическую интерпретацию, позволяющую определить центр тяжести системы материальных точек независимо от какой-либо системы осей.
Назовем статическим моментом массы т, сосредоточенной в точке М, относительно плоскости Р произведение массы на ее расстояние от плоскости, считаемое положительным в одну сторону и отрицательным в другую сторону от плоскости. Если принять во внимание то, что координаты точки, в прямоугольной или косоугольной системе осей, находятся в постоянном отношении к ее расстояниям от координатных плоскостей, то легко видеть, что уравнения (1) выражают следующую теорему.
Теорема. — Если всю массу материальной системы сосредоточить в ее центре тяжести, то статический моменщ этой муссы относительно какой-нибудь
268
Часть третья. Статика
плоскости равен сумме статических моментов относительно той же плоскости масс всех точек системы.
Центр тяжести данной материальной системы может быть определен применением этой теоремы к трем плоскостям, образующим трехгранный угол. Из теоремы следует, что если указанное в ней. свойство оправдывается для трех таких плоскостей, то оно будет иметь место и для любой плоскости.
Можно, впрочем, убедиться в этом непосредственно. Если выбрать три первые плоскости в качестве координатных, то для центра тяжести соотношения (1) выполнены по определению. Всякая новая плоскость Р определяется уравнением
ах -j- by -j- cz d = 0;
левая часть уравнения пропорциональна расстоянию точки (х, у, г) от плоскости Р. Из уравнений (1) можем получить соотношение
М (а\-j- bf\ -j- cr, -j- d) = 2 rn (ax -\-by-\-cz -j- d),
в точности выражающее теорему о статическом моменте системы относительно плоскости Р.
212. Теорема. — Если вся материальная система расположена с одной стороны от некоторой плоскости Р. то центр тяжести ее находится по ту же сторону от плоскости. Поэтому центр тяжести материальной системы находится внутри всякой выпуклой поверхности, заключающей в себе всю данную систему.
В самом деле, статические моменты относительно плоскости Р всех точек системы имеют одинаковые знаки, поэтому момент центра тяжести должен иметь тот же знак. А это значит, что центр тяжести находится с той же стороны плоскости Р, как все точки системы.
213. Распределительное свойство центров тяжести. —
Если разделить систему материальных точек 5 на ДЕе части S’ и S", то ее центр тяжести есть в то же время
Глава IX. Центр тяжести
центр тяжести двух масс М! и М" систем S' и S", помещенных соответственно в центрах тяжести этих двух систем.
Это свойство есть следствие уравнений (I). Будем отмечать обозначения одним или двумя штрихами, смотря по тому, относятся лй они к частным системам S' или^"; тогда получим соотношение
М\ = ^тх = 2 'тх 4- = ЛП' М"Ч"
и другие аналогичные, что и доказывает теорему.
§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ СПЛОШНЫХ ТЕЛ
214. Плотность. — Формулы (1) предыдущего параграфа не могут быть применены непосредственно к определению центров тяжести тел, так как материальные точки, из которых составлены тела, и их массы не поддаются измерению, и суммирования в формулах практически нельзя выполнить. Вычисление суммы здесь сводится к вычислению интегралов при помощи нижеследующих рассуждений, в которых постулируется непрерывность материи. Таким способом физическую задачу заменяют чисто геометрической.
Тело называют однородным, если во всех своих точках оно имеет одинаковое физическое строение. Плотность тела в этом случае есть постоянное отношение массы произвольной части тела к объему этой части. Пусть М — масса, V—объем и р — плотность тела, тогда
rj — ~ или М = 1/р.
Если тело неоднородное, то отношение массы к объему зависит от рассматриваемой части тела, и тогда для каждой части это отношение называется средней плотностью. Рассмотрим теперь точку тела с координатами х, у, z и выделим из тела элемент объема Дш, содержащий эту точку. Допустим, что средняя плотность этого
