Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, Р и ось 00' лежат в одной плоскости, а потому вектор Р' может быть разложен на два Р" и Р" по двум направлениям OvO и OjO'. Векторы Р' и Р"г можно перенести соответственно в точки О и О', потом сложить Р и Р", что даст Р14. В результате останутся только две силы Plv и Р", приложенные в точках О и О'.
Так как эти две силы приложены в точках неподвижной оси, то они необходимо будут уравновешены сопротивлением этой последней,
Глава VIII. Геометрическая статика
241
192. Определение реакций — В случае тела, имеющего неподвижную ось, полное определение реакций может быть произведено лишь при учете деформаций тела. Одних уравнений геометрической статики оказывается для этого недостаточно.
Рассмотрим самый простой случай, когда неподвижность оси достигается закреплением только двух ее точек О и О'.
Возьмем три прямоугольные оси координат Охуг с началом в закрепленной точке О и с осью г, взятой по направлению неподвижной оси 00'.
Пусть X, Y, Z— суммы проекций прямо приложенных сил и L, М, N—результирующие моменты этих сил относительно осей. Пусть X', К', Z' и X', Y", Z" — проекции реакций R' и R" в неподвижных точках О и О'. Моменты R' относительно осей равны нулю; моменты R", если обозначить через а расстояние 00', соответственно равны
— аУ, аХ", 0.
Шесть уравнений равновесия твердого тела, рассматриваемого как свободное под действием всех этих сил, будут:
ЛГ-f Х'-\-Х' = 0, Y+Y'+Y" = 0, Z + Z' + Z" = 0,
L — aY" — 0, M -\- аХ" = 0, ЛГ=»0.
Последнее уравнение не зависит от реакций. Это единственное условие равновесия, уже рассмотренное выше. Два предпоследние уравнения определяют соответственно X" и Y"; после этого два первых определят X' и Y. Наконец, остается неиспользованным только одно уравнение — третье:
Z + Z' -f Z" = 0.
Это уравнение позволяет определить сумму Z" ко оно, конечно, недостаточно для определения каждой из этих двух составляющих отдельно. Z' и Z" можно определить, лишь принимая во внимание внутренние силы, возникающие в теле вследствие упругих деформаций,
] g Зак. «58.
242
Часть третья. Статика
геометрйческая же статика вовсе исключает из рассмотрения эти деформации.
Можно было предвидеть заранее, что геометрическая статика не в состоянии определить Z' и Z", так как основной ее постулат позволяет прибавлять или отбрасывать две равные и прямо противоположные силы, приложенные в двух точках О и О'. Он позволяет поэтому увеличить Z' на произвольное количество при условии, что то же самое количество вычитается из Z".
193. Равновесие твердого тела, опирающегося на плоскость. — Рассмотрим твердое тело, опирающееся на неподвижную плоскость в некотором числе отдельных точек А', А", А'",..., не лежащих на одной прямой. Число этих точек должно быть поэтому не меньше трех. Пусть при эгом тело может скользить свободно и без трения по плоскости. Пусть далее все тело расположено с одной стороны плоскости; эту сторону мы будем называть внешней стороной, допуская, что плоскость представляет собой поверхность материального тела, имеющего достаточную твердость, чтобы препятствовать проникновению рассматриваемого тела, но неспособного удерживать последнее всегда на своей поверхности. Другими словами, плоскость может развивать реакцию только во внешнюю сторону (как это происходит в том случае, когда тяжелый предмет положен на горизонтальный стол). Пусть тело находится под действием заданных активных сил Fv F%,...Fn и требуется определить условия равновесия.
Пусть соответственно R', R", R"',... —нормальные реакции плоскости в точках опоры А', А", А"',...
Так как плоскость может развивать реакцию только во внешнюю сторону, то эти реакции параллельны между собой и одинаково ориентированы: они поэтому имеют равнодействующую R, равную их сумме и тоже с ориентацией во внешнюю сторону плоскости. Точка О плоскости, в которой приложена равнодействующая R, лежит всегда с той же стороны, как точки опоры, от всякой прямой (такой как А А" на фиг. 32), оставляющей
Г лава VIII. Геометрическая статика
243
все точки опоры с одной стороны. Действительно, момент равнодействующей относительно этой прямой имеет тот же знак, что и моменты реакций. Следовательно, точка приложения равнодействующей R будет заключена внутри выпуклого многоугольника, который содержит Есе точки опоры и называется опорным многоугольником. Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы силы, прямо приложенные к твердому телу, имели равнодействующую Q, равную и прямо противоположную R. Отсюда имеем следующее заключение:
Для равновесия твердого тела, опирающегося на неподвижную плоскость в нескольких точках, необходимо и достаточно, чтобы прямо приложенные к телу силы имели равнодействующую, нормальную к плоскости, ориентированную во внутреннюю сторону и пересекающую плоскость внутри опорного многоугольника или (в предельном случае) на его контуре.
На основании изложенного выше эти условия необходимы, но они также и достаточны. В самом деле, если они выполняются, то точка пересечения О равнодействующей Q с плоскостью опоры лежит внутри треугольника, образованного тремя опорными точками, выбранными соответствующим образом среди вершин опорного многоугольника, например А,' А," А'" (фиг. 32). В этом случае сила Q эквивалентна трем силам, нормальным к плоскости, так же ориентированным и проходящим через точки А', А" и А"'. Эти силы необходимо уравновешиваются сопротивлением плоскости в точках опоры.
