Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
По теореме Гельмгольца вихревая трубка сохраняет свою интенсивность по всей длине и потому не может оканчиваться в жидкости. Согласно схеме жидкого крыла можно считать все
пространство заполненным жидкостью. Поэтому вихревую трубку нужно представить продолженной в области внутрь крыла и затем выходящей из него, т. е. каждый вихрь можно представить в виде П-образного вихря. Часть вихря, связанную с крылом, называют присоединенным вихрем, части вихря, покидающие крыло и уходящие в бесконечность, называют свободными вихрями.
Так как крыло имеет большое удлинение (узкое), то все присоединенные вихри рассматривают как один линейный вихрь внутри крыла, расположенный вдоль отрезка оси z (—I ^ z ^
/), имеющий переменную интенсивность Г = Г (г) вдоль своей длины. От этого присоединенного вихря сбегают свободные вихри, образующие вихревую пелену 2 (рис. 50). Заметим, что в случае крыла бесконечного размаха свободные вихри отсутствуют.
Свободные вихри индуцируют в пространстве скорости. В разных точках пространства эти скорости V/, называемые индуктив-
236
ными, различны. Но пас интересует течение вблизи крыла. На основании гипотезы плоских сечений можем свести пространственную задачу к плоской. В сечении 2 = const (—I sc; 2 ^ I) будем рассматривать обтекание профиля потоком, скорость которого складывается из скорости vM невозмущенного потока и скорости V,-, вызываемой свободными вихрями.
Так как крыло имеет большое удлинение, то на протяжении длины хорды изменения скорости V,- в зависимости от х и // вблизи профиля малы. Поэтому можно приближенно принять индуктивную скорость постоянной и равной скорости, вызываемой системой свободных вихрей, в точке на оси 2, т. е. там, где расположен присоединенный вихрь (рис. 51).
Теперь в сечении 2 = const будем иметь плоскую задачу обтекания профиля потоком, имеющим скорость vm = Voo + v(-, где V,- = const — \i(z). Угол а,- между vm и Voo называют углом скоса потока.
н I frdQ ? О 2 -I
и а® —
Уж
Рис. 50. Рис. 51.
Таким образом, вместо пространственного течения около крыла буде"м рассматривать в каждом сечении 2 = const плоское обтекание профиля потоком, скорость которого vm зависит ОТ 2.
Итак, задача обтекания крыла конечного размаха разделилась на две — задачу обтекания профиля поступательным потоком и определение изменения циркуляции Г(2) по размаху крыла.
Будем сначала считать Г(2) известной и получим формулы для индуктивной скорости, угла скоса потока, индуктивного сопротивления и подъемной силы.
Выделим элемент крыла шириной dz и подсчитаем силу, действующую на него. По теореме Жуковского эта сила перпендикулярна скорости vm и равна
dR — рутГ (2) dz. (2.1)
Эту силу можно разделить на две составляющие: подъемную силу
dRy = dR cos at
237
и силу dRx, связанную со скосом потока и называемую силой индуктивного сопротивления:
dRx = dR sina*.
Учитывая малость угла аимеем
dRy ^ dR, dRx s* at dR. (2.2)
V •
Кроме того, из рис. 51 видно, что tga; =----------а для малых щ
V.»
a / = -|L- (2.3)
VQO
Интегрируя равенства (2.2) по размаху крыла с учетом (2.1), получим формулы для подъемной силы и силы индуктивного сопротивления, действующих на крыло:
Ry = PVco\ г dz. (2.4)
J — I
Rx = PV00^^air dz, (2.5)
или
Rx = — р ^ i «гГ dz. (2.6)
Этими формулами определяется силовое воздействие потока на крыло, если известно распределение циркуляции Г (г) по размаху крыла. Преобразуем эти формулы.
От элемента dt,, взятого около точки ? присоединенного вихря, отходит свободный вихрь. Интенсивность свободного вихря dl’ равна изменению интенсивности присоединенного
вихря, т. е. dr = -щ- dt,. Бесконечная вихревая нить, параллельная оси х и проходящая через точку (0, 0, ?), вызывает
Г 1
в точке (х, 0, z) скорость vy = — Свободный вихрь
интенсивности dT, выходящий из точки t, оси z (полубесконечнын вихрь), индуцирует в точке оси z скорость
^ = (2-7)
Интегрируя (2.7) по размаху крыла (— /, + /), получаем скорост!, индуцируемую в точке (0, 0, г) системой свободных вихрей:
Oi = —Т“\ ‘тт-^т- (2-8)
1 4я J z — ? v
(При этом интеграл вычисляется в смысле главного значения Коши.)
