Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
При заданном перепаде давлений скорость отыскивается из уравнения (1.7):
+ <|л0> Уравнение (1.10) по виду совпадает с хорошо изученным уравнением теплопроводности. Неоднородное уравнение (1.10) может быть сведено к однородному заменой
vx = vx — \ fit) dt.
Р Jo
Для отыскания решения уравнения (1.10) должны быть заданы начальные и граничные условия. Одномерные движения могут осуществляться при течении жидкости в цилиндрических трубах (или вне их). Поэтому граничные условия записываются на
контурах /к, получаемых сечением цилиндра плоскостью
х — const:
1/к = «к (/). (1.11)
Здесь «к(0 — скорость точек контура. Начальные условия имеют вид
vx\t=u = $~iy, г). (1.12)
Задача упрощается, если течение установившееся. В этом случае перепад давлений постоянен, и уравнение (1.10) сводится к уравнению Пуассона
<*(#-+30-&¦ <1лз>
Начальные условия отпадают, а граничные условия не зависят от времени:
vx\tK = uK. (1.14)
В самом общем случае скорость vx |г может зависеть от точек контура vx \iK = vK(t, М).
Особый случай одномерного течения представляет безнапорное движение жидкости, когда ~ = 0, р = const. При этом вместо (1.10) имеем уравнение
dvr (d2vr , d2vx
( d2vx , d2vx \
Если движение установившееся, то скорость находится как решение уравнения Лапласа
d2vx . d2vx „ ду2 дг2
(1.16)
удовлетворяющее граничным условиям (1.14).
Заметим, что задача (1.16), (1.14) (ик постоянны на контурах /к) эквивалентна задаче об отыскании функции тока ^ в плоских течениях идеальной несжимаемой жидкости
Отсюда следует, в частности, что для решения задачи (1.16), (1.14) можно использовать метод конформных отображений. Нетрудно показать, что сила /к, действующая на контур 1К в вязкой жидкости, выражается через циркуляцию Г соответствующего течения идеальной жидкости. Действительно,
§ 2. ПРИМЕРЫ ОДНОМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИИ вязкой ЖИДКОСТИ
Будем рассматривать безнапорное одномерное течение вязкой жидкости. В этом случае скорость vx удовлетворяет уравнению (1.15). Предположим, что жидкость заполняет все пространство и что vx зависит только от z и /. Тогда скорость vx(z, t) должна быть найдена как решение уравнения
Легко проверить, что функция g ехР { ~ ^ 4 } при
любом а удовлетворяет уравнению (2.1). Это фундаментальное решение одномерного уравнения теплопроводности. Так как
(2.1) — линейное однородное уравнение, то и сумма решений также будет решением этого уравнения.
Общее решение уравнения (2.1) определяется формулой
fK=$T„rfS = |i$-^dS = |x$|JdS = lir.
К
к
Mz,/)=-7=Г e-6T(z + 2sVv/)dS. (2.3)
\ Я j -оо
252
В частности (если F непрерывна и ограничена), при / = 0 будем иметь
1 с00
Vx (z, 0) = —4= F (г) \ e~V dt, — F (z).
Vlt J -°o
Следовательно, задавая в начальный момент распределение скорости
vx |<=0 = vx (г, 0) — F (г), (2.4)
мы можем получить решение задачи (2.1), (2.4) по формуле
(2.2) или (2.3).
Пример 1. Пусть в начальный момент в жидкости есть тангенциальный разрыв, т. е. при / = 0
( v0, z > 0,
„Л2,0) = ^(г,= {_%г<а (2.5)
Такое распределение скоростей соответствует вихревому слою. Решение (2.3) позволяет проследить сглаживание разрыва скоростей (рассеивание вихревого слоя). Действительно, подставляя (2.5) в (2.3), получим
ux(z, 0 = 2Vw e-?rf? + _^C e-Vdl =
VJt J -oo V71 J-------^=-
2 Vvf
<2-6)
i
где Ф(D = 4rU-t'd?.
Vjx j
Из формулы (2.6) видно, что при t > 0 распределение ско-. ростей непрерывно, т. е. разрыв, который имел место при t = О, постепенно сглаживается. При t -> оо и при любом z Ф 0 ско-
2 z
рость vx{z, Г)-> 0, причем vx~v0 —¦=—Последняя фор-
¦ул 2yvt
мула определяет скорость затухания разрыва. При любом положительном t vx (0, t) — 0.
Пример 2. Пусть над плоскостью х = О находится неподвижная жидкость. При t — О плоскость внезапно получает скорость v0 вдоль оси х. Что будет происходить с жидкостью? Решение этой задачи легко построить из решения (2.6). Действительно, положим
(г. О = »о(1 - Ф (^)) = * (1 - «). (2.7)
