Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Валландер С.В. -> "Лекции по гидроаэромеханике" -> 82

Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.

Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике — Л.: ЛГУ, 1978. — 296 c.
Скачать (прямая ссылка): lexciipoaerogidromehanike1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 110 >> Следующая


Вектор вихря й в любой точке пересечения двух поверхностей Si и S2 должен лежать в касательной плоскости к каждой из поверхностей, т. е. вектор й направлен по касательной к линии пересечения АВ, поэтому линия АВ — вихревая линия.

Вторая теорема. Интенсивность вихревой трубки постоянна по ее длине и не изменяется со временем.

Совокупность вихревых линий, проведенных через замкнутый контур, образует вихревую трубку. Интенсивностью вихревой трубки называют циркуляцию скорости по контуру, охватываю-

(3.3)

сг

а

219
щему трубку Г = ф v • dr. Такое понятие имеет смысл, если интенсивность (т. е. циркуляция Г) не зависит от положения контура I по длине трубки. По теореме Стокса T = (^v*dr =

= 5$ Я„^ст,где 0 — поверхность, пересекающая вихревую трубку.

О

Докажем, что для всех контуров /, лежащих на поверхности трубки и охватывающих ее, интенсивность одна и та же. Пусть h и 12— два каких-либо из таких контуров. Рассмотрим объем т, ограниченный поверхностью S, состоящий из Si, 2, S2, где Si и S2 — сечения трубки, ограниченные соответственно контурами 1\ и 12, а 2 — часть боковой поверхности трубки, заключенная между 1\ и 12.

Рассмотрим поток вихря через поверхность S. Согласно теореме Гаусса — Остроградского, получим

QndS= J JS divQdx = 0, (3.4)

S т

так как div ?2 = div rot v = 0. Из (3.4) следует, что

55 dS = 55QndS + 55QndS + 55Q„ dS = 0.

S S, S, ?

(3.5)

Поскольку fin = 0 на поверхности 2 (2 — вихревая поверх-

ность), из (3.5) имеем

55&ndS+ 55^5 = 0. (3.6)

S, Si

Здесь n — внешняя нормаль к поверхности, ограничивающей объем т (рис. 44). Введя ni = —m и используя формулу Стокса, получим

55&n^S = ^> V‘dr==r2,

s’ h (3.7)

55firtrfS = ^ v*dr = r{ = —Ti,

s, l'

где Ti и Г2 — циркуляции, вычисленные при обходе контуров h и |2 в одном направлении. Из формулы (3.6), учитывая (3.7), получим

ф v-dr=^> v • dr, Г! = Га,

220

Рис. 44.
т. е. интенсивность Г вихревой трубки постоянна по ее длине. Так как выполнены условия теоремы Томсона, то циркуляция по любому жидкому контуру не зависит от времени и, следовательно, интенсивность вихревой трубки не изменяется со временем.

§ 4. О ВОЗНИКНОВЕНИИ ВИХРЕЙ

Теорема Лагранжа о безвихревом движении жидкости и теорема Гельмгольца о сохранении вихрей справедливы при предположениях, что жидкость идеальна, баротропна и массовые силы консервативны. Вопрос о том, к чему приводит отказ от предположения об идеальности жидкости, будет рассмотрен в дальнейшем. В этом параграфе будет показано, что если жидкость не баротропна или массовые силы не консервативны, то

вихри даже в идеальной жидкости могут возникать и уничто-

жаться. При доказательстве теоремы Томсона было получено равенство (1.6). Учитывая уравнения Эйлера, описывающие движение идеальной жидкости

4HF_!gradPi

уравнение (1.6) можно переписать в виде

-f^^F.dr-^i-gradp.dr. (4.1)

Рассмотрим два случая: 1) жидкость баротропна: р = <р(р), но массовые силы не консервативны; 2) жидкость бароклинна, т. е. плотность зависит не только от давления, но и от других параметров, например, температуры, влажности (для воздуха) или от солености (для воды).

В первом случае имеем grad р — gradР, и, следовательно, -jj- grad р • dr = grad Р • dr = <^); dP = 0.

Равенство (4.1) принимает вид

F ¦ *. (4.2)

Но правая часть (4.2)—работа силы, действующей на единицу массы, при обходе контура I. Эта работа в неконсервативном

поле, вообще говоря, не равна нулю. Следовательно, — Ф0 и

теорема Томсона несправедлива, вихри могут возникать и могут уничтожаться.

221
Рассмотрим второй случай, предполагая, что массовые силы консервативны: F = —grad V, но жидкость бароклинна. В этом случае равенство (4.1) принимает вид

(4.3)

1

где <o = —.

Рассмотрим два семейства поверхностей: р = const (изобарические поверхности) и со = const (изостерические поверхности). В баротропной жидкости плотность сохраняет постоянное

значение на изобарической поверх-

О)=ш0+7 ности. Следовательно, в баротроп-

ной жидкости изобарические и изостерические поверхности совпадают. В рассматриваемом же нами случае эти поверхности будут пересекаться. Четыре поверхности: со = = (Оо, (о = соь р - ро, р = р\ образуют трубку, которая называется изобаро-изостерической.
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed