Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Валландер С.В. -> "Лекции по гидроаэромеханике" -> 91

Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.

Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике — Л.: ЛГУ, 1978. — 296 c.
Скачать (прямая ссылка): lexciipoaerogidromehanike1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 110 >> Следующая


¦|f = F — -i-gradp + vAv, (I.I)

divv = 0. (1.2)

Уравнение энергии для несжимаемой жидкости в предположении, что внутренняя энергия является функцией только темпе-

ратуры Е — сТ, имеет вид

ср^1 = е + йАГ + 0. (1.3)

Последнее слагаемое правой части уравнения энергии, как будет показано ниже, характеризует приток тепла, обусловленный работой сил трения.

Так как система уравнений (1.1), (1.2) не содержит температуры Т, то, решив ее, можно определить неизвестные функции

245
v и р, а затем найти температуру Т из уравнения (1.3). Тогда

для определения составляющих тензора напряжений и вектора

потока тепла имеем следующие уравнения:

II II = — pi + 2ц || &ik ||; (1.4)

t= grad Т, (1.5)

Г П 0

1 / dvt дук ч ik 2 ^ dxk ^ dxt ) ‘

Для отыскания решений системы (1.1) — (1.3) должны быть заданы граничные условия. Характер этих условий в различных задачах был подробно рассмотрен в главе VII. В частности, при решении задачи об обтекании неподвижного тела с поверхностью S безграничным установившимся потоком вязкой жидкости ищутся решения системы (1.1), (1.2), удовлетворяющие условиям

v Is= 0, v|oe = v0„, />!„ —А». (1.6)

§ 2. НЕОБРАТИМОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Рассмотрим сначала течения идеальной несжимаемой нетеплопроводной жидкости. Такие течения описываются системой уравнений

dv т, 1 ,

Г — F — — grad р,

dt Р (2.1)

div v = 0.

Массовые силы F = F (х, у, г) известны. Пусть

v = v(х, у, г, /), p = p{x,y,z,t) (2.2)

— решения системы (2.1). Введем новые функции

V' = — V (*, у, z, — /), р' = р (х, у, Z, — (). (2.3)

Очевидно, что если функция (2.2)—решения системы уравнений

(2.1), то функции (2.3) также будут решениями этой системы

уравнений. Действительно, и grad р'= grad р. Это

свойство называется обратимостью течений идеальной жидкости, или иначе инвариантностью по отношению к обращению времени. Таким образом, если движение идеальной несжимаемой жидкости возможно в одном направлении, то оно возможно с. темп же скоростями и давлением в противоположном направлении. Докажем теперь, что движения вязкой жидкости в общем случае необратимы. Действительно, если v, р — решения системы уравнений (1.1) н (1.2), а функции v', р' определены,

как п ранее, по формулам (2.3), то в силу того,

grad р' — grad р, Ду' = —Av, для функций v', р' получим сн-

246
стему уравнений, которая не будет совпадать с исходной системой уравнений (1.1) и (1.2). Таким образом, функции v', // не являются решениями уравнений Навье — Стокса. Обратимость течения будет иметь место только тогда, когда Av — 0, т. е. v — гармоническая функция. Но практически для всех граничных задач Av ф 0.

§ 3. ЗАВИХРЕННОСТЬ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Будем исходить из системы уравнений для вязкой несжимаемой жидкости (1.1), (1.2). Покажем, что любое решение задачи

о потенциальном движении идеальной жидкости является точным решением системы уравнений (1.1), (1.2).

Действительно, если движение вязкой жидкости безвихревое,

то

v = grad ср. (3.1)

В силу уравнения неразрывности div v = 0 имеем

Дф = 0. (3.2)

Отсюда следует, что

Ду = Д grad ф = grad Дф - 0. (3.3)

Но при наличии (3.3) уравнения Навье — Стокса (1.1) совпадают с уравнениями Эйлера (2.1), т. е. решения уравнений Эйлера при предположении (3.1) являются и решениями уравнений Навье — Стокса.

Рассмотрим задачу об обтекании неподвижного тела установившимся потоком вязкой жидкости. Решение такой задачи должно удовлетворять уравнениям (1.1), (1.2) и граничным условиям (1.6).

Нельзя ли найти решение этой задачи в классе потенциальных (безвихревых) течений? Такое решение (если оно существует) должно удовлетворять уравнению (3.2) и граничным условиям (1.6). Но, как было показано ранее, решение уравнения (3.2) определяется с точностью до циркуляции при следующих условиях:

дф дп

V,i \s = -

При этом касательная составляющая скорости vr на поверхно-

- ! J Л

сти тела оудет отлична от нуля, т. е. vx |s = Ф и.

Это означает, что потенциальный поток в случае вязкой жидкости не удовлетворяет в точках соприкосновения с твердой стенкой условию прилипания v |s = 0, т. е. класс потенциальных течении не может быть использован для решения задач об обтекании тел вязкой несжимаемой жидкостью. Течения вязкой
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed