Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим решение задачи в случае, когда жидкость занимает все пространство и покоится на бесконечности:
Voo = 0. (6.6)
Будем искать поле скорости v в виде суммы двух полей:
V = V[ + v2,
таких, что
div vi = Э, rot Vj = 0, vloo = 0; (I)
div v2 = 0, rotv2 = Q, v2oo = 0. (II)
Поскольку исходная задача линейна, сумма скоростей v = vj + v2 будет искомым решением.
Построим сначала решение задачи (I). Будем искать скорость Vi в виде
v^gradcp. (6.7)
В этом случае второе уравнение (I) удовлетворяется тождественно, а из первого уравнения получим
? + ? + (6-8)
Таким образом, задача свелась к отысканию решения уравнения Пуассона в неограниченном пространстве.
Угадать вид решения уравнения (6.8) можно из физических соображений. Предположим, что функция 0(я, у, z) отлична от нуля только в ограниченной области т. Разобьем область т на п меньших областей т; и положим
где каждая из функций 0г отлична от нуля только в области тг. Поскольку уравнение (6.8) линейное, решение его можно искать в виде суммы:
Ф = Е"_1Ф/, (6-9)
где ф(- — решение уравнения Пуассона <92ф. д2а>, <32ф.
(х> У> z)- (6.10)
i/28 Зак. 1031 225
Положим v(,‘> = grad ф; и подсчитаем расход жидкости qt через поверхность сферы S, внутри которой находится область т;:
т
JsJ J^iJ '
Эi d%= т,0(ср
-sss
Отсюда следует, что течение с потенциалом ф; можно приближенно описать как течение от источника обильности Тогда можно ожидать, что
(х, у,г)та — тfii ср (4лгг)-1, (6.11)
где r2l = (x — liy + (ij — r)iJ + (z — Zi)2, а (?,, Г1г., ?г) — координаты точки из области т*. Подставляя (6.11) в (6.9), получаем
____ 1 V1" Ti9icp ,п 1П,
(6Л2)
В правой части (6.12) стоит сумма Римана для интеграла
X
поэтому можно ожидать, что решение уравнения Пуассона (6.8) имеет вид
ф = ~~1гМ 6(1,7— (6.13)
—оо
Функция (6.13) называется ньютоновым потенциалом.
В курсах математической физики доказывается, что эта функция является единственным решением уравнения Пуассона
(6.8), стремящимся на бесконечности к нулю, если только наложить некоторые дополнительные условия на функцию 0.
Достаточно потребовать, чтобы функция 0 была кусочногладкой, ограниченной и убывала на бесконечности как ^2+а~ ’
где а > О, R = л/х2 + у2 + z2.
Таким образом, решение задачи (I) определяет вектор
+ 00
Vi - grad ф = — grad jj jj jj -9 {l’^ dx• (6Л4)
— 00
Перейдем теперь к решению задачи (II). Ранее говорилось
о том, что для любого вектора А справедливо равенство div rot А = 0. Следовательно, если искать решение задачи (II) в виде
V2 = rot А,
226
го первое уравнение этой задачи удовлетворяется тождественно, а второе уравнение в этом случае имеет вид
rot rot A = Q. (6.15)
функцию А называют векторным потенциалом поля скорости.
Используя легко проверяемое равенство
rot rot А = grad div А — ДА,
запишем уравнение (6.15) в виде
ДА — grad div А — —Q. (6.16)
Не уменьшая общности, можно считать, что div А = 0. Дей-
ствительно, если divA = /#0, то, полагая Ai = A -f- grad <p, получаем
div Ai = / + div grad ф = / -f- Дф.
Выбирая ф как решение уравнения Пуассона Дф = —/ (см. задачу (I)), получаем div Ai = 0, v2 = rot A = rot Аь Таким об-
разом, использование векторов А и А) для вычисления скорости v2 приведет к одинаковым результатам, и при этом div А] =0.
Итак, будем считать, что div А — 0. Тогда уравнение (6.16) примет вид
ДА = —О. (6.17)
В проекциях на оси координат уравнение (6.17) имеет вид
ААХ = — Qx, ААу = — ау, ААг = — Д*. (6.18)
Каждое из уравнений (6.18) —уравнение Пуассона, а мы уже научились строить его решение при рассмотрении задачи (I). Таким образом, используя решение задачи (I), можно записать
оо
— со
оо
