Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
V2 = irr0t$$$7dT-
— со
Возвращаясь к исходной задаче, получим
со оо
v = -^grad SSSfrfT+^-rot 55 dx. (6.20)
— оо —оо
Таким образом, поставленная задача решена, однако осталось несколько моментов, которые подлежат проверке.
1. При построении вектора А предполагалось, что div А = 0. Проверим, что полученное для А выражение (6.19) действи-
•/,8» 227
тельно удовлетворяет этому равенству. Рассмотрим сначала выражение Д div А. Учитывая (6.17), получим
Д div А = div ДА = — div = — div rot v = 0.
Таким образом, div А — гармоническая функция. Нетрудно проверить, что
lim div А = 0.
Г -> оо
Но известно, что функция, гармоническая во всем пространстве и стремящаяся к нулю на бесконечности, есть тождественный нуль. Следовательно, div А = 0.
2. Установим единственность полученного решения задачи
(6.1), (6.2), (6.6). Предположим, что наряду с построенным решением v имеется другое решение задачи vj. Тогда разность u = v — Vi удовлетворяет условиям
divu = 0, rotu = 0, u|oo = 0.
Покажем, что и = 0. Очевидно, что и — потенциальное поле u = grad ср. Но div u = div grad qp = 0. Следовательно, <р, а вместе с ней и и являются гармоническими функциями. Таким образом, и — гармоническая функция, обращающаяся в нуль на бесконечности. Отсюда следует, что и = 0 и vj == v. Единственность полученного нами решения доказана.
Замечание. Скажем несколько слов о решении в области т, ограниченной поверхностью S, задачи (6.1), (6.2) с граничным условием (6.4). Решение этой задачи можно искать в виде
v = grad <р + rot А + и,
где гр и А — построенные выше функции, а и удовлетворяет уравнениям div и = 0, rot и = 0. Очевидно, что u = grad гр. Тогда div и = div grad гр — Дгр = 0. Для нормальной составляющей vn будем иметь
*Г
Следовательно,
дп
где f (М) = Vn (М) — _ rotn A |s. Поскольку f — заданная
функция, для ор получаем задачу Неймана.
§ 7. СКОРОСТИ, ИНДУЦИРУЕМЫЕ ВИХРЕВОЙ НИТЬЮ
Пусть в жидкости, заполняющей все пространство, имеете)’, замкнутая вихревая трубка с конечным объемом т. Поле скоростей, индуцируемое такой вихревой трубкой, определяется формулой (6.20). В нашем случае Q(x, у, z)— 0 вне области т. Так
228
как мы предполагаем, что в жидкости нет источников, то Q(x,y,z) — 0 всюду. Поэтому
v==i7rrotSSSTdT- <7л>
т
Пусть о — сечение трубки, I — средняя линия трубки, at — единичный вектор касательной к средней линии. Полагая вихрь скорости Q постоянным в каждом сечении трубки, для элемента вихревой трубки длины dl можно записать Я dx — Qadl = = tQodl. Тогда
v = irotSd/SSTdff = l!rrotSi7id/- <7-2>
i a i
Устремляя о к нулю (при этом Я—юо), но так, чтобы произведение Яо оставалось постоянным, получаем вихревую нить с интенсивностью Г = Яо. По теореме Гельмгольца интенсивность Г постоянна вдоль /, поэтому, переходя к пределу, получаем
v=^rotL>- (7-3)
Проекции скорости v на координатные оси определяются по формулам
Вектор t не зависит от координат х, у, z. Выполняя дифференцирование под знаком интеграла и учитывая, что grad-^- =
*= — jr, где г = (х — |) i + (у — ti) j -f (z — 0 k, получаем
”•=-i- \ (-^4-^ >,)?¦
(7-4>
I
.. T [ ( t У - Ъ 4 \dl
V*=-^) V ~r (У----------—tx)—-
l
В скобках под знаком интегралов в (7.4) стоят компоненты векторного произведения двух векторов t и ш = у-. Поэтому
8 Зак, 1031 229
формулы (7.4) для скорости, индуцируемой в пространстве вих ревой нитью, можно записать в виде
dl
*=тН<‘Х”>!-=тИ,<‘Хг>
(7.5)
Очевидно, что элемент вихревой нити Д/ порождает в точке М (г) скорость Ду:
Ду = -гг (t X ~) (7.6)
4я
с численным значением
I А I г • dl
I Ду I = -гг sin а-р-
4я-““г2- Здесь а —угол
между векторами t и г (рис. 46).
Формулы (7.5) и (7.6) аналогичны формулам Био — Савара в электродинамике.
\х,у,г)
Рис. 47.
§ 8. ПРЯМОЛИНЕЙНАЯ ВИХРЕВАЯ НИТЬ
